Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)
1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok
139. A halmazok származtatásánál figyelemmel kell lennünk néhány már ismertetett, vagy pedig szinte magától értetődő tételre. Ezek a következők : 1. Összenyomhatatlan gömbhalmazban egy gömbön sem maradhat érintési pont nélkül egy félteke. 2. Összenyomhatatlan gömbhalmaz legalább négyszomszédos. 3. Tizenkettőnél több szomszéd nem lehet. 4. Szomszédos réteg felé legalább egy szomszédnak kell lennie, különben a halmaz nem volna összefüggő. 5. Összenyomhatatlan halmazban egy-egy szomszéd mindkét idegen réteg felé (azaz f=a=l) ugyanazon gömbátmérő végén elhelyezkedő érintési ponttal (azaz m 1=m 2=2r) csak akkor lehet, ha saját rétegéből minden gömb legalább hármat érint (azaz k^z3). Különben maradna érintési pont nélküli félteke s ekkor a halmaz az 1. alapján összenyomható volna, 6. Saját rétegéből minden gömb legfeljebb hat másikat érinthet (azaz A legutolsó tétel alapján mindig abból indulunk ki, hány szomszéd van a saját rétegben. így azután sorra veszem a halmazokat aszerint, hogy egy rétegükben 6, 5, 4, 3, 2, 1, vagy 0 érintkező gömbjük van. Az ilyen módon végzett vizsgálataink eredményét а I. táblázatba foglaltuk. A táblázat 2. oszlopa tünteti fel а к értékét, vagyis azt, hogy egy bizonyos réteghez tartozó gömb hány ugyanazon rétegbeli gömböt érint, A 3. rovatban láthatók azok az alapidomok, melyek olyan geometriai természetűek, hogy a kikötött к értéknek meg tudnak felelni. A4, rovat tünteti fel azoknak a halmazoknak jelképét és szomszédszámát, melyek a 3. rovatbeli alapidomból fejleszthetők. Az 5. rovat azt mutatja meg, hogy miképen fejleszthető ez a halmaz az alapidomból. Itt a középső réteg középsíkjára vetítve ábrázoltuk a szomszédos rétegek gömbjeinek középpontjait. A következő 6—11. rovatok a szóbanforgó halmazok méreteit abban az esetben tüntetik fel, amikor e halmazok a légritkábbak, azaz sűrűségük a legkisebb. Itt mégegyszer szükségesnek tartjuk megjegyezni, hogy a 6. és l(i. sorszámok alatt ít felsorolt halmazok azonosak és sűrűségük nem változó, hanem csakis ^ lehet. Az összes többi halmaz sűrűsége változó, ezek legnagyobb sűrűsége mint határértékhez közeledik a ^ y — értékhez, de azt nem érheti el. E többi halmaz legkisebb sűrűségét pedig az 1. táblázat 9. és 10. rovata tünteti fel. A változó sűrűségű halmazok legkisebb sűrűségük értékét egy esetet kivéve ténylegesen föl is vehetik. Az egy kivételes eset a 33. sorszám alatti [2, 1, 2] halmaz, amely legkisebb sűrűségének értékét csak határértékként közelíti meg. Amikor a halmazt rétegtávolságainak növelésével ritkítjuk, e halmaz akkor, amikor elérné legkisebb sűrűségét [2, 2, 2]k halmazzá alakul, szomszédszáma megváltozik, ezért megváltozik a halmaz természete is. A táblázat legutolsó rovatából azt láthatjuk, elég gyakran fordul elő, hogy ugyanazt a halmazt többféle alapidomból származtathatjuk. Ez a jelenség nem minden esetben ugyanolyan természetű. így például minden [1, 4, 1] jelképű halmaz valamely [2, 2, 2J'p jelképű halmazzal azonos : viszont minden [2, 2, 2J'p jelű halmaz is azonos valamely [1, á, 1] jelképű halmazzal. Tehát minden halmaz, mely e csoportok egyikébe tartozik, beletartozik a másik csoportba is. Nem ilyen a viszony a [2, 0, 2] és az [ 1, 0, 3] jelképű halmazcsoportok között. Ebben az esetben
