Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Ismertetünk a karakterisztikus függvényre egy fontos tételt, amelynek alapján független valószínűségi változók összegének valószínűségeloszlása meghatározható.

Tétel. Legyenek XY,X2, ..., Xn független valószínűségi változók, és legyen Y— =X1+X2+ ...+X„. Ekkor az Y valószínűségi változó karakterisztikus függvénye az összeadandók karakterisztikus függvényeinek szorzatával egyenlő, azaz:

(pY(t) = E(ei,x) = E[ei,(xi+-~+x")] — E[ei,xi ■ei,x*... ei,x"] —

= E(e“xi)E(e‘'x>)... E(e»xn) = <pXi(t) ■ <pXt(t) ... 9xJf). (3.37)

Ugyanis az X1,X2,...,X„ változók függetlensége folytán az e“Xl, e"x*, ..., e"x« valószínűségi változók is függetlenek, és szorzatuk várható értéke várható értékeik szorzatával egyenlő.

Megemlítjük még, hogy ha egy Y valószínűségi változó egy másik X valószínűségi változónak lineáris függvénye, tehát Y—aX+b, akkor

cpY(t) = E(ei,r) = E[ei,(aX+b)] = ekbE[é^x] = étb(px(at). (3.38)

Bemutatjuk, hogyan határozzuk meg egy folytonos eloszlású valószínűségi változó momentumait a karakterisztikus függvény segítségével, amennyiben azok léteznek. Differenciálva t szerint a

(Px(0 = f ei,xf(x)dx

kifejezést,

(p'x(t) — f ixe"xf(x) dx.

Az Y = e"x = cos tX + /sin tX = XY + iX2 komplex értékű valószínűségi változó várható értékét az

E(Y) = E(X1) + iE(X2),

szórásnégyzetét a D2(Y)=E[\Y—ii(L)|2] összefüggésekkel értelmezzük, és

<p'x(0) = i J xf(x)dx = itty = iE(X). (3.39)

Továbbá:

<Px(?)= f (ixye“*f(x)dx, és

(Px(0) = i2 f x\f{x)dx = i2E(X2).

90