Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Számítsuk ki az E(Y|A) valószínűségi változó várható értékét:

E[E(Y\X)\ = 2 E(Y\X = xi)pi.

i

Felhasználva a (3.5b) összefüggést, az alábbi érdekes eredményt kapjuk: E[E{Y\X)\ = 2(2 YjP(y = }'j\X = xí)Pí =

* j

= 22 yjrij = 2 }'j 2 ru = 2 >’ich = E(y)- (3.7)

< j j i j

(Itt felhasználtuk, hogy

P(Y = y}\X = x,)P(X = x,) P(Y yJt X = x,) = rtJ.)

Azt az eredményt kaptuk tehát, hogy az Y változó X-re vonatkozó feltételes várható értékének a várható értéke az Y változó feltétel nélküli várható értékével egyenlő.

Amikor X és Y folytonos valószínűségi változók f(x), ill. g(y) sűrűségfüggvényekkel és h(x, y) együttes sűrűségfüggvénnyel, akkor az Y valószínűségi változó A-re vonatkozó feltételes várható értékét az

E(Y\X = x)= f y~~-dy= f yg(y\x)dy

összefüggéssel értelmezzük. Ebben az esetben is érvényes az

£[£<m>]= /( /(£>,/* =

= f y[ f h(x, y)dx]dy = J yg(y)dy — E(Y) (3.8)

összefüggés.

(Feltéve, hogy a fenti improprius integrál konvergens.)

A (p(x)=E(Y\X = x) függvényt, amely az x változó függvénye, az Y változó A-re vonatkozó regressziós görbéjének nevezzük.

Teljesen analóg módon definiáljuk az A valószínűségi változó T-ra vonatkozó feltételes várható értékét.

Definiálhatjuk az E(Y|Al5 A2, ..., A„) feltételes várható értéket, amely az A1; A2, ..., A„ változók függvénye, tehát n változós függvény. Ennek a függvénynek az alábbi érdekes minimumtulajdonsága van: ha g(Xt, A2, ..., A„) az Al5 A2, ..., A„ változók tetszőleges függvénye, akkor:

£{[K-g(A,, .... A,,)]2} £{[y-£(y|Alf ..., A,,)]2}. (3.9)

77