Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

2. Valószínűségi változók és valószínűségeloszlások

esemény valószínűségét kell meghatározni minden z-re. Ez azt jelenti, hogy a h(x, y) sűrűségfüggvényt integrálni kell a síknak ama Tt tartományára, amelynek pontjaira az x+y<z feltétel teljesül. Tehát, ha Z eloszlásfüggvényét K(z)-vc\ jelöljük, akkor

K(z) = P(Z < z) = ff h(x, y)dxdy.

7*

Az integrált úgy is kiszámíthatjuk, hogy rögzített x-re először у szerint integrálunk a (—00, z—x) intervallumban, majd x szerint a ( — °°, +°°) intervallumon, vagyis a kettős integrált kétszeres integrálra vezetjük vissza:

OO z — x

A'(z) - f [ f h(x,y)dy]dx.

Amikor X és Y független valószínűségi változók, tehát

h(x, y) = f(x)g(y),

akkor

00 Z — X

K{z)= f fix) [ f g(y)dy]dx.

Itt azonban a belső integrál az Y változó eloszlásfüggvényének értéke a z—x helyen, azaz

K(z) — f G{z—x)f(x)dx.

— 00

A sűrűségfüggvényt z szerinti differenciálással kapjuk: к (z) = K'(z)= f g (z -x) f(x) dz.

Azonos eloszlású, független változók esetén, tehát ha f(x)=g(x), az X+Y sűrűségfüggvénye:

k(z) = f f(z—x)f(x)dx.

Az összeg eloszlását illetően a diszkrét esetben csak független változókra jegyezzük meg a következőket.

Legyenek X lehetséges értékei Xi,x2, ..., az Z-től független Y lehetséges értékei )>i, у2, ..., és jelöljük az értékek valószínűségét a következő módon:

68