Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

Behelyettesítve az (1.9) egyenlet nevezőjébe az (1.8) kifejezést:

P{B,\A)

P(A\Bj)P(Bj)

£ P(A\Bj)P(Bj)

j'=i

(1.10)

Az (1.10) Bayes-formulában szereplő P(B]), P(B,), ..., P(B„) valószínűségek a /i,. B.,, ..., Bn események „a priori” valószínűségei a /*(/?,|A), /= 1, 2, ..., « valószínűségek pedig ugyanezen események „a posteriori” valószínűségei. Az (1.10) formula lényegében azt fejezi ki, hogy milyen módon változtatja meg az A esemény bekövetkezése a #!, ö2, ..., ß„ események valószínűségét. Az alábbi példák számszerűen érzékeltetik, hogy a valószínűségek általában lényegesen megváltoznak. Ez arra utal, hogy hidrológiai jelenségekben a különböző események valószínűségei általában nemcsak önmagukban, hanem más eseményekkel való vonatkozásukban is lényegesek.

2. példa. Valamely vízfolyáson bekövetkezett halpusztulásért több ipari üzem lehet felelős, hiszen kiindulási feltételünk szerint az általuk kibocsátott szennyvizeknek külön-külön is mérgező hatása van. A kérdés az, hogy milyen módon lehet a felelősség, mértékét megállapítani. Vegyünk fel három üzemet, és jelöljük /’(/■/)-vei annak a valószínűségét, hogy az /-edik (/= 1, 2, 3) üzem mérgező anyagot bocsát ki. Ezt a valószínűséget a Vízminőségi Felügyelet vonatkozó mérési adatai alapján számíthatjuk. Az egyszerűség kedvéért tételezzük most fel, hogy a mérgező anyag kibocsátásának valószínűségei mindhárom üzemnél azonosak [95], tehát

P(E1) = P(F2) = P(F3) = 1/3.

Valóságos körülmények között természetesen ezek a valószínűségek általában különbözők, különösen akkor, ha háromnál több és eltérő technológiákat használó üzemekről van szó. A valószínűségek összege viszont az üzemek számától függetlenül mindig az egységgel egyenlő.

Feltételezzük azt is, hogy az említett üzemek egymástól teljesen függetlenül dolgoznak. Jelöljük a halpusztulás bekövetkezésének eseményét /l-val, és számítsuk ennek valószínűségét azon feltétel mellett, hogy az adott üzem szennyvízkibocsátásáról van szó. Ismét a vonatkozó vízminőségi adatokat kell felhasználnunk, hozzárendelve ezekhez a halpusztulásra vonatkozó korábbi megfigyeléseket is. Legyenek ezek a feltételes valószínűségek a következők:

P{A\Fl) = 0,75; P(A\Ft) = 0,85; />(^|/^:}) = 0,05.

A halpusztulás teljes valószínűsége ekkor:

P(Ä) = 1/3 - 0,75 + 1/3-0,85+1/3-0,05 = 0,55.

Ez lesz tehát a halpusztulás bekövetkezésének valószínűsége akkor, ha mindhárom üzem együttes lehetséges hatását számításba vesszük múltbeli tapasztalataink alapján.

43