Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

A kombináció csak abban tér el a variációtól, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, ezért az n elemből alkotható A:-ad osztályú kombinációk száma:

n| V'í n\ n(n — l)...(n — k+ 1)

k) = kT = Jn-k)\kT = 1-2 - ... -k

Kombinációra vezet az az elhelyezési probléma is, amikor n db számozott cellába k db egyforma (számozatlan) golyót helyezünk úgy, hogy egy cellába legfeljebb egy golyó kerülhet. Ekkor az n cella közül k cellát ki kell választanunk, ezekbe teszünk golyót, míg a többi (n — k) cella üresen marad.

Alkalmazásként megemlítjük a binomiális tételt, amely arra vonatkozik, milyen módon kell egy kéttagú kifejezést akárhányadik hatványra emelni:

I 2 ii

(p+q)" = (p+q)(p+q) ■ (p+q)■

A szorzást úgy végezzük el, hogy minden tényezőből kiválasztunk egy-egy tagot, ezeket összeszorozzuk, majd az így nyert szorzatokat összeadjuk. Amennyiben minden tényezőből a q-1 választjuk, akkor qn-1 kapjuk. Ilyen kifejezést csak egyféle módon nyerhetünk. Amikor k számú tényezőből a p-1 választjuk és a többi n — k tényezőből a í/-t, akkor pkqn~k típusú tagot kapunk, és ezt annyiféle módon nyerhetjük, ahányféleképpen n tényező közül k különböző kiválasztható. A kiválasztottá számú

tényezőből a-t veszünk-féle módon. Tehát

(P+q)" = {"))p"qn + (")pqn-' + ^)piq',-i+--- + {}l)pn<r= d-D

Megjegyezzük, hogy az kombináció kiszámítása az n és a k nagy értékeire igen nehézkes a faktoriálisok nagy értékei miatt. Felmerül tehát az a probléma, hogy milyen módon lehet értékét nagy n és k értékekre becsülni. Amikor n páros szám,

azaz 2m alakú, akkor a Stilling-formula felhasználásával egyszerű alakú becslést kapunk a Pascal-háromszög 2»?-edik sorának középső (legnagyobb) elemére:

2-m \ nm

A valószínűségelméleti alkalmazások során erre a becslésre többször szükségünk lesz. Megemlítjük a következő szimmetriatulajdonságot:

("1

1 = 1

í " 1

UJ

1 1

(n-k)

31