Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

Megjegyezzük, hogy egy A esemény kjn relatív gyakorisága véletlen mennyiség. így ha sok n hosszúságú kísérletsorozatot végzünk és minden egyes sorozatban megszámláljuk az A esemény K(A) gyakoriságát, valamint kiszámítjuk a k1(A)/n, k2(A)/n, ... relatív gyakoriságokat, akkor ezek stabilitásuk ellenére is különböznek egymástól. A relatív gyakoriság tehát véletlen mennyiség, amelynek értéke kísérletsorozatonként változhat, míg az A esemény P{A) valószínűsége objektív állandó mértékszám. A valószínűség és a relatív gyakoriság között ilyenformán elvi különbség van.*

Elég nagy számú kísérletnél a relatív gyakoriság igen kevéssel tér el a valószínűségtől, ezért a valószínűség tulajdonságait a különböző események relatív gyakoriságainak tulajdonságaiból származtatják.

A relatív gyakoriságra mindig teljesülnek az alábbi összefüggések:

1. tetszőleges A esemény g(A) relatív gyakoriságára O^g(A)^ I;

2. az / biztos esemény (amely minden kísérletnél bekövetkezik) relatív gyakorisága: g(/)=l; a lehetetlen esemény relatív gyakorisága: g(0) = O;

3. amikor A és ß egymást kizáró események, akkor g(A + ß)=g(A) + g(ß).

Az utóbbi tulajdonság tetszőleges (véges vagy megszámlálható) egymást kizáró

esemény egyesítésére igaz.

A relatív gyakoriság ezen tulajdonságait alapul véve valamely A esemény P(A) valószínűségén olyan méríékszámot értünk, amely kielégíti az alábbi axiómákat.

I. Bármely A esemény P(A) valószínűségére fennáll, hogy 0^P{A)^\, azaz %-os megadás esetén 0+100 közé eső érték.

lí. A biztos esemény valószínűsége: P(/)= 1.

Iíl. Amikor A1, A2, ■■■, A„, ... egymást kizáró események, azaz /'Aj esetén ArAj = 0, akkor

P(Ai + A2 +... +A„+...) = P{Aj) + P{A.j) +... + /’(/!„) + —

Megemlítünk olyan összefüggéseket, amelyek az axiómák közvetlen következményei, és bizonyos események valószínűségeit ismerve lehetővé teszik más — esetleg összetettebb — események valószínűségének meghatározását.

1. tétel. Amikor az A esemény valószínűsége P(A), akkor az A ellentétes esemény valószínűsége:

P(A) = l-P{A).

A tétel belátásához vegyük figyelembe, hogy A + A = I, A-A = 0, így a II. és III. axióma alapján

P{I) = P{A+A) = PIA) + P{A) = 1,

* A hidrológiai gyakorlatban a korlátozott adatszám miatt csak a relatív gyakorisággal számolhatunk.

24