Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése
ill. az jelölés bevezetése után F(x) = e~y. Láthatóan x = y, tehát x legkisebb értéke esetén F(x) = 1, ill. x — esetben fXxj — O, tehát F(x) az X^x értékek valószínűségeit adja meg. A minimális értékek exponenciális eloszlásfüggvénye tehát balról korlátos, a jobb oldalon nem korlátos, mivel x a y= + °° értékeket veheti fel. Ily módon y jelenti az alsó határt, ß központi paraméter és a arányparaméter. Mivel x = ß esetén F(x) = e~1 = 0,368, ezért az x^ß értékek valószínűsége 0,368. A médián míg a modus Me = y + ß(\n 2)1/3t, m. = »+/>('-!) • A modus csak akkor létezik, ha col. Az in<Me viszony akkor teljesül, ha l/oo0,306 85 és az Me = m egyenlőségnek az 1 /a = 0,306 85, míg az egyenlőtlenségnek az 1 /oc < 0,306 85 képezi a feltételét. Megjegyzendő, hogy 1 /a = = 0,306 85 esetben az eloszlásfüggvény gyakorlatilag szimmetrikus, jóllehet nem megy át normális eloszlásba. Az eloszlásfüggvényt az In [—In F(x)} — a ln (x — y) —a ln (ß — y) alakban felírva látható, hogy az (x — y) és F(x) értékek log-extremális (vagy a kétszeres logaritmus logaritmusa) koordináta-rendszerben való ábrázolása révén az eloszlásfüggvény egyenessel közelíthető. Általában y>0, és ennek értéke a mérési adatok alapján becsülhető. Amikor az alsó határ zérussal egyenlő (tehát y = 0), akkor az x és F(x) kapcsolat valóban egyenest ad, és ekkor a mediánra és a modusra vonatkozó kifejezések segítségével az a és ß paraméterek értékei grafikusan meghatározhatók. így F(x) — 0,50 és /'(x) = 0,368 esetén az illesztett egyenes megadja Me és m becsült értékeit. A y = 0 feltételből a modus és a médián számértékei a már közölt összefüggések alapján analitikusan is meghatározhatók. Amennyiben y>0, akkor az a, ß és y paraméterek értékeit az alábbi kapcsolatok alapján becsülhetjük: ß = /í + <T/t(oc), y = ß — aB(a), ahol l+i)l , oc) 1 B(oí),-1/2 Ä(a) 11* 163
