Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése
A karakterisztikus függvény segítségével kiszámíthatjuk az exponenciális eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét. Ekkor E(X) = ±-cp'( 0) = i, (4.45) DHX) = = 4; D(X) = 1/oc. OT (4.46) Látható, hogy az exponenciális eloszlás várható értéke és szórása numerikusán megegyezik. 19. példa. Annak a valószínűsége, hogy egy t csapadékmentes időszakot követő igen kis At idő alatt zápor fordul elő (pl. április hónapban) legyen adott a Á(t)At szorzattal, amelyben X(t) a / idő ismert függvénye [96], Az esetek jórészében ez egy periodikus függvény, amely az egységnyi időre vonatkoztatott záporsűrűséget adja meg. Mi a valószínűsége annak, hogy a 1 idő alatt zápor nem fordul elő? Legyen A azon véletlen esemény, hogy a (0, t) intervallumban nem lesz zápor, B legyen az a véletlen esemény, hogy a zápor a (/; t + At) időszakban előfordul, és végül jelöljük ß-sal azt a véletlen eseményt, hogy a zápor a (/; t + At) időtartam alatt nem fordul elő. A P(A) valószínűsége fit), tehát a valószínűség az idő függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a (0; t + At) intervallumban nem lesz zápor: P(A, B)=f(t + At) = P(BiA)P(A) = [1 -P(B/A)]-f(t). Felírható, hogy P(B/A) = ?.(t)-At. Az, hogy mi történik a (/; t + At) idő alatt, független attól, hogy mi történik a (0, t) időszakban, tehát f {t + At)-f{t) At-HDfi»A ).{t) és f(t) pozitív értékeket jelentenek, ezért annak a valószínűsége, hogy a (0, t) intervallumban nem lesz zápor, t növekedésével csökkenni fog. Amikor At-+ 0, akkor A fit) fit) Á{t)dt. Amennyiben /(0)=1, tehát a 1 = 0 pillanatban nincs zápor, akkor t t- J /.(x)clr, azaz In /(/) = — J A(t)í/t, r' df{x) J fi') s így PiA) =/(0 = exp clz □ 152
