Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások

innen

me = j ln 2.

Mivel 0 < ln 2 < 1 és me = M(£) ln 2, ezért me < M(g). Ez azt jelenti, hogy az exponenciális eloszlású valószínűségi változó a várható értékénél kisebb értékeit nagyobb valószínűséggel veszi fel, mint a várható értékénél nagyobbakat.

Megjegyezzük, hogy ha például a £ egy radioaktív atom elbomlásáig eltelt idő, akkor a médián a felezési idő, vagyis az az idő, amely alatt a radioaktív anyag atomjainak fele elbomlik. A felezési idő ismeretében megadható a c, eloszlása.

Példa. A £ valószínűségi változó legyen annak az útnak a mérőszáma, melyet egy bizonyos típusú gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz. Tegyük fel, hogy a £ exponenciális eloszlású és várható értéke 800 (km).

a) Legfeljebb hány kilométert tesz meg az adott típusú gépkocsik fele az első műszaki hibáig?

b) Adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első műszaki hiba 800 km megtétele előtt, ill. 800 km és 1600 km között következik be!

Megoldás, a) A keresett érték az eloszlás mediánja, vagyis me = 800 In 2 « 554,5. Tehát az adott típusú gépkocsik fele legfeljebb kb. 554,5 km-t tesz meg az első műszaki hibáig.

b) A kérdéses események valószínűsége az eloszlásfüggvény segítségével egyszerűen kiszámítható. A £ eloszlásfüggvénye:

x e R esetén F(x) =

0,

1 — e

X

800

P(£ < 800) = P(800) = 1 —e-1

ha x^0, ha x>0.

» 0,632;

P(800<£<1600) = E’(1600)-F(800) = (1 -e~l)-{}-e~2) = íT1-*?“2,

P(800<£ < 1600) »0,233.

Ez azt jelenti, hogy az első műszaki hiba az adott típusú gépkocsik kb. 63%-ánál 800 km megtétele előtt bekövetkezik, illetve kb. 23%-ánál 800 km és 1600 km között következik be.

5.5.2 A gamma-eloszlás

A gamma-eloszlás az exponenciális eloszlásból is származtatható. Ha egy esemény véletlenszerű időpontokban megismétlődik, vagyis véletlen eseményfolyamatról van szó, és két esemény között eltelt idő exponenciális eloszlású, akkor az az időtartam, amely alatt ez az esemény k-szór következik be, k paraméterű gamma-eloszlású. Ha

94