Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások
A definícióban szereplő valószínűségek valóban valószínűségeloszlást adnak meg, mivel a {£ = k} események (k = 0, 1, 2teljes eseményrendszert alkotnak. Bebizonyítható, hogy a hipergeometrikus eloszlású £ várható értéke: A binomiális és a hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változók várható értékének és szórásának összehasonlítása alapján látható, hogy ha ugyanabból a sokaságból visszatevéssel, illetve visszatevés nélkül veszünk n elemű mintát, akkor a mintában levő selejt darabszámának várható értéke ugyanakkora; de a visszatevés nélküli mintavétel esetén a szórás kisebb. Ha n«N, akkor a szórások közelítőleg megegyeznek. A két eloszlás várható értékének egyezése, és ««ÍVesetén a szórások közelítőleges egyenlősége már indokolja, hogy a gyakorlatban - a nehezen kezelhető - hipergeometrikus eloszlást a binomiális eloszlással közelítjük. (A megfelelő valószínűségek eltérésének kicsiny voltát bizonyítani is lehet.) A diszkrét valószínűségeloszlások közül ez az eloszlás a legfontosabb. A Poisson- eloszlást a kis valószínűségű, vagyis ritka események eloszlástörvényének is nevezik. Ha viszonylag kis kiterjedésű egyedek az egyenesen, a síkon vagy a térben véletlenszerűen elhelyezkedő pontokkal szemléltethetők, akkor véletlen pontelhelyezkedésről beszélünk. Véletlen pontelhelyezkedéssel szemléltethetők az ún. véletlen eseményfolyamatok is; vagyis ha egy bizonyos esemény véletlenszerű időpontokban megismétlődik. Véletlen pontelhelyezkedés esetén a szóban forgó alakzat meghatározott tartományába eső pontok száma; véletlen eseményfolyamatnál pedig egy meghatározott időszakban és időtartam alatt bekövetkező események száma igen gyakran Poisson- eloszlású. Például Poisson-eloszlású a sajtóhibák száma egy könyv lapján; egy folyadék vagy valamely homogén anyag meghatározott részében levő idegen részecskék vagy buborékok száma; egy telefonközpontba, illetve kiszolgálóüzembe adott időszakban és időtartam alatt beérkező hívások, ill. vásárlók száma; textilgyárban - meghatározott körülmények között - adott időtartamra eső fonalszakadások száma; bizonyos idő alatt elbomlott radioaktív atomok száma. s M{£) = np, ahol p = —; szórásnégyzete pedig: 5.3 A Poisson-eloszlás 85
