Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások

az A esemény bekövetkezésének számát jelöli, és p = P(A), akkor d;, az alábbi definíció alapján, binomiális eloszlású.

Definíció. A d; valószínűségi változót n, p paraméterű (« pozitív egész, 0 <p < 1) binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha a d; lehetséges értékei 0, 1, és

P{£ = k) = (^)Pkqn~\

ahol q = 1 —p.

A definícióban szereplő valószínűségek valóban eloszlást adnak meg, mivel a {£ = k} (k = 0, 1, 2, ..., n) események teljes eseményrendszert alkotnak. Ezért a 3.2.1 2. tétele szerint

Megjegyezzük, hogy az előző összefüggés a binomiális tétel - (a + b)n = akbn~k - felhasználásával is igazolható. Az eloszlás neve is innen származik, mivel a=p,b = q esetén - a binomiális tétel alkalmazásakor - kapott összeg tagjai éppen a d; lehetséges értékeinek bekövetkezési valószínűségei.

Binomiális eloszlással közelíthető - bizonyos feltételek mellett - a több számolást igénylő hipergeometrikus eloszlás (1. majd 5.2). A binomiális eloszlás pedig - bizonyos feltételek teljesülése esetén - Poisson- (1. majd 5.3), illetve normális eloszlással (1. majd 5.6) közelíthető.

A binomiális eloszlású d; valószínűségi változó várható értékét és szórását indikátorváltozók felhasználásával határozzuk meg. (Természetesen a definíció alapján is kiszámíthatók.)

Ismételjünk meg egy két kimenetelű kísérletet «-szer egymástól függetlenül. Jelentse d; az A esemény bekövetkezésének számát. Értelmezzük az r/i, tj2,rj„ indikátorváltozókat a következőképpen:

í 1, ha az i'-edik kísérletben az A esemény következik be,

(0, egyébként.

Ha az n független kísérlet során az A esemény éppen k-szór következik be, akkor k darab indikátorváltozó értéke 1, n — k darabé pedig 0; így

d; = rji +rj2 + ... + rin ■

81