Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

B) A szórás tulajdonságai

1. Tétel. A konstans szórása 0; azaz ha c konstans, akkor

D(c) — 0.

Bizonyítás. Ha a £ csak a c értéket veszi fel, akkor P(£ = c)= 1, és a 4.3.1 pont 1. tétele szerint M(c) = c. így a definíció szerint

D\c) = (c-c)2 • 1 =0.

Tehát

£>(c) = 0.

2. Tétel. Ha a £ szórása létezik, akkor a £, c konstansszorosának szórása a £ szórásának \c\-szerese; azaz

D(c£) = |c| D(0Bizonyítás. A szórásnégyzetre vonatkozó tétel, valamint a várható érték tulajdonságai közül a 2. felhasználásával

D\cQ = M{[cf)2)-M\cf) = c2M(í2)-[cM(()]2 = c2[M(£2)-M2(f)],

Z)2(c£) = c2Z)2(0Tehát

D(ct) = |c| /)({).

A következő tétel két független valószínűségi változó (£ és rj) összegének szórásnégyzetére vonatkozik. Ezt a tételt nem bizonyítjuk.

%

3. Tétel. Ha két független valószínűségi változó szórása létezik, akkor az összegük szórásnégyzete az egyes valószínűségi változók szórásnégyzetének összege; azaz ha Ij és rj függetlenek, akkor

D\Z + n) = D\0 + D\r,).

A 3. tétel és a teljes indukció felhasználásával bizonyítható a következő tétel.

75