Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség
Bizonyítás. Ha a Bi, B2, B„ események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor BíBj = 0 (jVj), és Bí + B2 +... + Bn = ß; vagyis a Z?, események közül a kísérletek során mindig egy és csak egy következik be. Az A eseményt - a teljes eseményrendszer felhasználásával - események összegére bontjuk, A — AQ — A(B\ + B2 + .. .Bn) — ABi + A B2 + ... + ABn. A kapott események páronként kizárják egymást, mert (AB^ABj) = ABßjii^j), és BtBj = 0. Az A esemény valószínűsége a felbontás és a 3. axióma felhasználásával: P(A) = P(ABi) + P{AB2) + ... + P{ABn) = £ P(ABJ. Í= 1 A szorzási szabály szerint P(AB,) = P(A\Bi)P(Bi). Tehát P(A) = X P(A\Bi)P(Bl). i = i A teljes valószínűség tételét akkor alkalmazhatjuk, ha meg tudjuk határozni egy eseménynek egy teljes eseményrendszer elemeire vonatkozó feltételes valószínűségeit és a teljes eseményrendszert alkotó események valószínűségeit is. A szóban forgó esemény valószínűségét ekkor az egyes feltételes valószínűségeknek a feltétel valószínűségével súlyozott közepe adja. Példa. Egy üzemben három hétig azonos alkatrészeket gyártanak. Az egyes heteken rendre a teljes termelés 30, 25 és 45%-át készítik el, a selejtszázalék pedig 7, 6 és 8%. a) Mi a valószínűsége annak, hogy a teljes termelésből kiválasztott egyetlen termék selejt? b) Ha a teljes termelésből 10 elemű mintát veszünk visszatevéssel, akkor mi a valószínűsége annak, hogy a mintában pontosan két selejt lesz? Megoldás, a) Legyen A az az esemény, hogy selejtet húzunk (ennek valószínűségét kell meghatároznunk). Jelentse 5,(z= 1, 2, 3) azt az eseményt, hogy egy alkatrész az /-edik héten készült. A Bx, B2, B2 események teljes eseményrendszert alkotnak, és valószínűségük is ismert. Az egyes selejtszázalékokból pedig a selejt húzásának feltételes valószínűségeit kapjuk. Az adatok: P(BJ = 0,30, P(B2) = 0,25, P{B3) = 0,45; PiAIBi) = 0,07, P(A\B2) = 0,06, P(A\B3) = 0,08. A selejt húzásának valószínűsége a teljes valószínűség tételének felhasználásával: 3 P(A) = £ P(A\Bí)P(Bí) = 0,07 ■ 0,30 + 0,06 • 0,25 + 0,08 • 0,45 = 0,072. i= í 34
