Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 10. Becsléselmélet

esetében egy év során fellépő árhullámok száma Poisson-eloszlást követ. Jelöljük v-vel az egy év során bekövetkező árvizek számát, ekkor

Különböző folyókra a k paraméter értéke különböző, ezért minden folyóra külön kell becsülni a k paraméter értékét az illető folyó árvizeire vonatkozó statisztikai mintából. (A vízrajzi évkönyvből kiolvassuk az illető folyóra vonatkozólag értékeit mindazon évekre, amelyekről feljegyzés van.)

Mindegyik valószínűségeloszlás tartalmaz ismeretlen paramétereket, amelyeket statisztikai módszerekkel kell minél jobb közelítéssel meghatározni. Az egyik alapvető statisztikai probléma tehát a következő: A vizsgált £ valószínűségi változóról tegyük fel először, hogy folytonos eloszlású és sűrűségfüggvénye

Vx £ R esetén f(x; a),

ahol a ismeretlen paraméter (több paraméter esetén paramétervektor). A £ valószínűségi változóra vonatkozó n elemű mintából kell becsülnünk az a paramétert (vagy annak valamely függvényét). Az a paraméter lehetséges értékeinek halmazát paramétertérnek nevezzük.

Normális eloszlás esetén a = m vagy a = a2 vagy a(m, a); exponenciális (Poisson- eloszlás) esetében a = k, s.í.t.

Az a paraméter becslése a £-re vonatkozó £1, £2, ...,6, statisztikai mintából úgy történik, hogy képezzük a mintaelemeknek valamely oc„ = <*„(£ 1, £2,..., £„) statisztikai függvényét, és ennek értékét tekintjük az a paraméter közelítő értékének. Az a paraméter konkrét esetben egy meghatározott érték - állandó -, viszont mint már a statisztikai függvény bevezetésekor említettük, az a„ statisztika, vagy más néven becslés, valószínűségi változó. Nem arról van tehát szó, hogy a mintából kiszámítjuk az a paraméter értékét. A mintából kiszámítunk egy a„ számot, amelynek értéke függ a véletlentől. Annak megítélése, hogy az oc„ statisztika mikor tekinthető az a elméleti jellemző (paraméter) „jó” becslésének, többféle szempontból történhet.

Az alábbiakban felsoroljuk azokat a legfontosabb tulajdonságokat, amelyekkel pontbecslés esetében a „jó” becslésnek rendelkeznie kell.

Először is megköveteljük, hogy az oe„ statisztikának a várható értéke megegyezzék a becsült paraméterrel, azaz M(oc„) = a legyen. Az ilyen becslést torzítatlan becslésnek nevezzük. Másodszor megköveteljük, hogy a„ értékei lehetőleg kismértékben ingadozzanak az a paraméter körül, azaz torzítatlan becslés esetében a„ szórása minél kisebb legyen. Ugyanazt az elméleti paramétert a mintából általában többféle módon becsülhetjük. Két különböző becslés (statisztikai függvény) közül azt tekintjük ejficiensebb- nek (hatásosabbnak), amelyiknek kisebb a szórása.

Minél több elemű mintát veszünk, általában annál megbízhatóbb következtetést tudunk levonni az ismeretlen paraméterre vonatkozólag. A jó becsléstől megkövetelik