Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

2. Hidrológiai statisztikai módszerek - 2.3 Eloszlásfüggvények

44

2. Hidrológiai statisztikai módszerek

(A továbbiakban a jel határait egyszerűség kedvéért nem jelöljük, ha az egyértelműen, az összes értékre vonatkozik. A 22 jel utáni index nélküli változó természetesen az általános tagot jelöli.)

Az n-edrendű momentumot megkapjuk, ha az egyes értékeknek valamely A számértéktől való távolsága (különbsége) ra-edik hatványának középértékét képezzük. Ha A — 0 kezdeti momentumokat kapunk (a koordináta-rendszer kezdőpontjára vett nyomaték):

mn

(2-59)

Ha A = x (középérték), centrális momentumot kapunk:

Mn =

_ £(*■

—\n

x)

N

(2-60)

Folytonos valószínűségi változó (&) és végtelen adatszám esetén x középérték helyett az M(£) várható érték, ill. középérték képzés helyett várható érték képzés szerepel, vagyis az előbbi összefüggés így alakul át:

Mn = M[£i - M(0]n

(2-61)

A 0-adrendű momentumok értéke mindig 1. Az elsőrendű kezdeti momentum a középérték:

mi = x (2-62)

Az elsőrendű centrális momentum (a középérték definíciójából következően):

M i=0

(2-63)

A másodrendű centrális momentum a (torzított, ill. korrigálatlan) szórás négyzetével azonos, vagyis

M2 = <r2

illetve

(2-64)

Itt jegyezzük meg, hogy a modultényezőkből paramétereket számolni csak akkor célszerű, ha a modultényezőket más okból úgyis elő kell állítani.

Az eloszlásfüggvények paraméterei a momentumokból becsülhetők. A centrális momentumok táblázatos formában határozhatók meg célszerűen (2-12. táblázat).

Az x értékeket célszerű nagyság szerinti sorrendben felírni (#*), hogy a táblázat többi oszlopa elemeinek változása jobban követhető legyen, így az összegezés is könnyebb.

Vigyázni kell, hogy a Ax és páratlan hatványai — így a páratlan rendű momentumok is — előjeles mennyiségek.