Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.3 Trend elemzés

158

3. Hidrológiai idősorok elemzése

elve alapján számolhatjuk ki. A megfelelő helyettesítéssel a paramétervektor elemei d0 és di, a független változó i= 1,2,...,7V, a függő változó Yj, V-j,..., Yjv, a hiba az t/i, ?/2,

...,Vn trendmentes idősorból alkotott vektor lesz. Az X*X kova

riancia mátrix előállításánál figyelembe kell venni azt is, hogy a do paraméter „szorzója” csupa egyes:

(X*X)

1 1 ... 1

1 2 ... i-1

1

1

2

1

i

TV E i E i E i2

(3-50)

Ll TV J

A normálegyenlet jobb oldala a független változók mátrixának és a függő változó vektorának szorzataként kapható:

(Xt/)

1 1 1 2

1

TV

ryi i

' EYj ‘

Yi

E i ■ Yi

Yn.

(3-51)

így tehát a normálegyenlet, amelyből a do és d\ paraméterek becslését megkaphatjuk:

'TV

Ei '

do

' YY{ '

Ei

Ei2

.di.

Ei • Yi

(3-52)

Mivel jelen esetben a független változó matematikai formában adott (determinisztikus tag), ezért a kovariancia mátrix elemei egyszerűen számolhatók. Mint az elemi matematikából ismert

és

N

5>

i= 1 N

E** =

TV(TV + 1)

2

TV(TV + 1)

2

2(TV + 2) —3 3

(3-53)

Célszerű a normálegyenletet végigosztani TV-nel és akkor az alábbi formát kapjuk:

i

do

' Y '

N + l N +1 2(N + 2)-3 1 2 2 3

di

(3-54)

___ N _

a

hol iYi = iY{ és Y az idősor várható értéke.