Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)
3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint
3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint 153 Általános tapasztalat az, ha a maradéktagok korreláltak, akkor az x\ és X2 jellemzők súlya csökken, jobbára y várható értékénél többet nem tudunk mondani x\ és X2 ismeretében sem. A paraméterbecslésnek van még egy módja, ez a maximum-likelihood módszer. Ha az e hibatag zérus várható értékű, normális eloszlású és kovariancia mátrixa V, akkor az ún. likelihood függvény : L — (27t) 2 N | V| 2 exp--(y-XirV-^y-Xt) (3-27) ahol |V| a V mátrix determinánsa, a likelihood függvény szélső értéke 6 szerint adja a megoldást és ez: 6 = (X“V-1X)-1X*V-1)/ (3-28) ami megegyezik az általánosított regressziószámítási képlettel. Ez fennáll abban az esetben, ha a hibák eloszlása normális, várható értékük zérus, e = 0, és kovariancia mátrixuk (önmagával vett vektoriális szorzat) V pozitív definit és szimmetrikus. Ekkor az általánosított paraméterbecslés módszere és a maximum- likelihood módszer azonos eredményre vezet. Ha a maradék tagok egymással kor- relálatlanok és azonos szórásnégyzetűek, akkor és csak akkor az általánosan alkalmazott, egyszerű paraméterbecslési eljárás eredménye megegyezik az általános paraméterbecslési és a maximum-likelihood módszer által kapott eredménnyel. Ha azonban var(e) ^ E • a2e, akkor a V mátrix helyettesítése az E mátrixszal hibát okoz a számításban. A hibatagok szórásnégyzetének különbözősége az egyes kísérletek súlyának különbözőségét tükrözi; e\ szórása <7i, e2 szórása 02 stb. A mérnöki gyakorlatban sokszor előfordul, hogy a korreláció számításához felhasznált mérések nem azonos súlyúak, de a mérések egymástól való függetlenségét feltételezhetjük. Ebben az esetben a hibavektor kovarianciája: "<T 2 1 V = L 0 (3-29) ennek a mátrixnak az inverze egyszerűen számolható: (3-30) És már ebből is jól látható, hogy az egyes mérések súlyát éppen a hibatag szórásnégyzetével fordítva veszi: (X*V_1X), vagyis a nagy szórású, nagy bizony talanságú mérést kis súllyal a kis szórású, kis bizony talanságú mérést nagy súllyal veszi figyelembe a kovariancia-számításnál.
