Csoma János - Szigyártó Zoltán: A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában (VITUKI, Budapest, 1975)

1. A valószínűség elmélet és a matematikai statisztika alapfogalmai

A valószínűségi változók ilyen keveredésének eredményeként előálló új, f valószínűségi változó eloszlására igaz most már a következő tétel: Ha annak a valószínűsége, hogy az i-ik megfigyelés körülményeit rögzítő, vagyis a fi valószínűségi változóra jellemző, mondjuk A,-vei jelölt feltétel, mint esemény (s vele együtt a f; valószínűségi változó) p; valószínűséggel fordul elő úgy, hogy

Ípi=l, (1-23)

Í = 1

továbbá az ilyen módon értelmezhető feltételes eloszlásfüggvény

F(x | Aj) = F,(x) (1.24)

akkor a f valószínűségi változó „keverék eloszlás”-át az

F(x) = A PiF;(x) (1.25)

i = ]

eloszlásfüggvény írja le.

Nincs természetesen semmi akadálya annak sem, hogy e fogalmat ki- bővítsük a folytonosan változó feltételek esetére is. Ennek érdekében csupán arra van szükség, hogy az A; esemény helyett bevezetett A esemény

A = A(t) (1.26)

módon legyen valamilyen t paraméter függvénye úgy, hogy ugyanakkor a t körüli kis intervallumban ennek a bekövetkezési valószínűsége

p = p(t) dt

legyen oly módon, hogy

+ "V)

0 p(í) dt < 1 és ) p(t) dt — 1;

továbbá, hogy a valószínűségi változó

F(x) — F(x | t) (1.29)

eloszlásfüggvénye is legyen í-nek folytonos függvénye. Ilyen feltételek mellett ugyanis a keverék eloszlás keresett eloszlásfüggvénye

+ oo

F(x) = J F(x | í) p(t) d(t) (1.30)

(1.27)

(1.28)

Hogy egy fontos gyakorlati példával is megvilágítsuk a most bevezetett fogalmat: Valamely természetes vízfolyás egy kiválasztott szelvényében az átfolyó vízhozam nyilván a t idő függvénye. Közelebbről a vízhozam az időtől oly módon függ, hogy az évszakok periodikus változásának eredményeképpen az év egy meghatározott időpontjában annak véletlen jellegű ingadozása, azaz eloszlása mindig ugyanaz lesz. így a vízhozam eloszlás- függvénye is az idő függvényének — még pedig folytonos, periodikus függ23