Bogárdi János: Korrelációszámítás és alkalmazása a hidrológiában (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952)
II. A kétváltozós, egyszerű korreláció számítása
24 Az m paramétereket célszerűen, mint szorzathatvány momentumokat értelmezhetjük. A momentumok elvének általánosságban való megértéséhez be kell vezetnünk a valószínűségi változók eloszlás függvényét és valószínűségi sűrűség függvényét. X valószínűségi változó eloszlás függvényét, mint ismeretes, Xváh ozó- értékei és a hozzájuk tartozó valószínűségek határozzák meg. Ha a valószínűségi változó folytonos, eloszlás függvénye is folytonos, vagyis differenciálható lesz. Az ilyen F(x) folytonos eloszlás függvény első differenciálhányadosát F'(x)-et valószínűségi sűrűség függvénynek nevezzük. Vagyis a valószínűségi sűrűség függvény f(x) = F'(x). Egy X valószínűségi változó /c-adrendű momentumán Xk várható értékét értjük. Jelölésünk szerint a /c-adrendű momentumnál »A:«az m paraméter indexébe kerül. Vagyis mk= E(Xfe). Folytonos valószínűségi változónál az m paraméter integrál formájában, végesszámú X változónál pedig szumma alakjában jelentkezik. Eszerint végesszámú X. változónál mk = ZXff pt folytonosnál pedig mk = | Xk f(x) dx . Az első momentum, ha tehát a hatványkitevő k = 1, megadja X valószínűségi változó várható értékét. Vagyis m1 = ZXt ph illetőleg m, = /Xf(x) dx jelenti X valószínűségi változó számtani közepét, ill. várható értékét aszerint, hogy végesszámú, vagy folytonos-e a változó. Végesszámú változónál az első momentum azonos a számtani középpel. (Lásd a (6) és (7) összefüggést.) A szorzathatvány momentumokat két változónál is bevezethetjük. Itt a Csuprov szerinti jelölésnél m indexében kis függőleges vonás fogja elválasztani a két hatványkitevő-értéket. Célszerű, ha ezt a jelölést az egy változóra vonatkozó momentumoknál is bevezetjük. Ebben az esetben a második változó »0« hatványon szerepe), vagyis m1 helyett mi|0-t és mk helyett mk[0-1 kell írnunk. A korrelációszámításnál általában az m paraméterekben két változó szerepel. Az m paraméter az általános definíció szerint a két változó bizonyos hatványainak szorzatára vonatkozó várható értékkel azonos. Eszerint a szorzathatvány momentum, vagyis az m paraméter legáltalánosabb alakja Csuprov jelöléseit követve az X é; Y változó /-edik és g-edik hatványainak szorzatából képezhető várható értékkel azonos, vagyis m indexében az első szám / az X, a második index g az Y-ra vonatkozik és megadja, hogy a két változónak milyen hatványa veendő. Elvileg természetesen / és g bármilyen pozitív, egészszámú értéket felvehetnek. fgy a szorzatmomentumnak, az m paraméternek végtelen sok variációját lehet kiszámítani. Ezek közül azonban a korrelációszámításnál csak három m paraméter játszik szerepet. Ezek az alábbiak : Ha / = g = 1, akkor mflg = E(Xf Yt0 =r r wi] X{ Y*} (12) mlti = E(XY) = S Z WíjXíYj, (13> vagy mivel w ij = — és 1 N X X zuXiYj = i J n =1
