Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)

1957-02-01 / 2. szám - Schramm László: Megjegyzések az elsőfokú egyenletek megoldásához

Schramm László: Megjegyzések az elsőfokú egyenletek megoldásához

35

van. Legyen az A(x) = 7x + 4 és B(x) = 3x + 12. Az A(x) = B(x) egyenlet gyöke x = 2, mert behelyettesítés után A(x) = 18 és B(x) = 18. Adjuk hozzá

az egyenlet mindkét oldalához az F(x)+ ——— függvényt. Akkor az

7X+4+ ——- = 3x+12 + -^—

x—2 x—2

egyenletet kapjuk. Ez az új egyenlet nem ekvivalens a 7x + 4 = 3x-f-12 egyenlettel, mert az eredeti gyöknek x = 2 értékére az F(x) függvénynek nincsen értelme. Az ilyen módon véghezvitt rendezés tehát a 7x + 4 = = 3x + 12 egyenletnek megoldására való tekintettel nincsen megengedve.

Másik példa:

Szorozzuk az A(x) = B(x) egyenlet mindkét oldalát olyan F(x) függvénynyel, amelynek értelme van minden olyan x értékére, amelyre az A(x) és B(x) függvények értelmezve vannak.

A kijelölt műveletet elvégezve az

A(x) . F(x) = B(x) . F(x)

egyenlethez jutunk. Ez az egyenlet nem ekvivalens az eredeti egyenlettel, mert az A(x) = B(x) egyenlet gyökein kívül az F(x) = 0 egyenlet gyökeit is tartalmazza. A rendezés azonban megengedett, csakhogy a kapott gyökök közül ki kell zárni azokat, amelyek az eredeti egyenletet nem elégítik ki.

Legyen A(x) = x + 4, B(x) = 2x + 1, F(x) = x—1.

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (x—l)-gyel. Akkor az (x + 4) (x—l = (2x + l) (x—1) egyenletet kapjuk, vagy a művelet elvégzése után x2—3x—4 = 2x2—x—1. Az egyenlet gyökei x = 3 és x = l. Ezek a gyökök kielégítik a kibővített egyenletet, de nem elégítik ki az eredetit. Erről a próba elvégzésével győződhetünk meg. Az eredeti egyenletnek csak az x=3 gyök felel meg.

Láttuk, hogy az ekvivalens rendezéseken kívül nem ekvivalens rendezések is léteznek, amelyek az eredeti egyenletre való tekintettel vagy meg vannak engedve, vagy nincsenek megengedve. Mivel csak a megengedett rendezések vezethetnek helyes és teljes megoldáshoz, követelnünk kell, hogy a tanuló a megoldásnál minden lépést okoljon meg és minden lépésnél jól gondolja meg, vajon az éppen elvégzett rendezés nem befolyásolja-e a gyökök számát és jellegét. Ezt a feladatot diszkussziónak nevezzük.

A tanulót rá kell vezetnünk, hogy az egyenlet megoldását olyan feladatnak tekintse, amelynél meg kell találnia mindazokat a számokat, amelyek az adott egyenletet kielégítik. Különben a tanuló azt fogja állítani, hogy pl. x.l = x kifejezés nem egyenlet, hanem egyenlőség, vagy hogy a 0.x + 2 = = 0 kifejezés nem egyenlet és nem is egyenlőség, hanem ésszerűtlen feljegyzés stb. Különösen akkor fontos a diszkusszió, amikor a tanuló „nem lát az egyenletbe”. Pl. az x.l = x egyenletet minden szám kielégíti. Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van. Mielőtt második egyenletünkre (0.x + 2 = 0) adnánk választ, kövessük figyelemmel a következő megfontolást: Oldjuk meg az ax + b = 0 egyenletet. Ha a^O, az egyenletnek

csak egy megoldása van: x =---- Ha a = 0, b^O, az egyenletnek nincsen