Ciszterci rendi Szent István katolikus gimnázium, Székesfehérvár, 1935

más szempont szerint csoportosítsuk : ez helyes elv, de nem épen az alapokra vonatkozóan. Ami vezérfonalam irányeszméit és tartalmát illeti, a következőket szeretném megjegyezni. 1. Fontosnak tartom az eddig kevés figyelemre méltatott intuitív értelmezéseket; persze a formális levezetések sem nélkülözhetők. Az I. fokú műveletek törvényeit azonban sem formálisan nem bizonyítom, sem intuitíve nem értelmezem, mert ezek még a szemlélet számára közvetlenül hozzáférhetők.*) Egyszerűség kedvéért a többi formális levezetést sem veszem fel mind, de többnyire legalább utalok reájuk. 2. A formulák közül csak a lényegeseket, a hasznosíthatókat kell feltüntetni; ép ezért pl. ilyent: »Összeghez adni« s más hasonlókat nem szerepeltetek. Az összeghez adás egyébként bennfoglaltatik az összeadás associativitasában; természetesen az associativitasban foglaltak közül a fontosabbakat azért külön ki kell emelni. Az x általános mennyiséggel és az S, D, P, Q műveleti eredményekkel végezhető összes alapműveletek már nagy számuk miatt sem tárgyalhatók. De ha a minden jelentőséget nélkülözőket (pl. D-|-Q) le is számítjuk, még az így megmaradtak sem sorolhatók fel valamennyien zavarkeltés nélkül egy bevezető vezérfonalban. 3. A szabályok fogalmazása legyen: a) inkább stereotyp, semmint változatosságra törekvő; b) praktikusan szabatos, azaz a praktikus egyszerűség követelménye kedvéért a szabatosság mérséklendő ott, ahol a szabatosság csökkenése nem okoz félreértést; c) lehetőleg ritmikus hangzású, mert így könnyebb a pontos megtanulás és megtartás.**) 4. A commutativitast és associativitast sok könyv a szorzásnál sem bizonyítja, ezenkívül pongyolán v. helytelenül értelmezi őket. Még W. LIETZMANN is ezt írja (Leitfaden der Mathematik. A. U. 1935

8 p. 6.): „A s s o z i a t i v e s Gesetz. Auch bei einem Produkt von mehreren Faktorén ist deren Reihenfolge nicht massgebend fúr das Ergebnis." És képletileg is csak ezt írja: abc- acb bac=bca=cab cba. Pedig — azt hiszem az associativitast nem jellemzi eléggé a »sorrendközömbösség«, hanem inkább a társítás módját kijelölő tetszésszerinti zárójelstruktúra, továbbá a mennyiségeknek a csoportok számára való ugyancsak tetszésszerinti kiválasztása. A commutativitas pedig nem »sorrendcsere«, hanem »jellegcsere.«***) 5. A műveletek definícióit sem a képletek, sem a szabályok közé nem vettem fel, mert ezeket a tanulók már a köz. számtanban is tanulják. Itt csak arra akarom felhívni a figyelmet, hogy helyesebb a szorzást így definiálni: »annyiszor venni adandóul«, e helyett: »annyiszor venni összeadan*) Jellemző a Hilbert féle axiomatikus formalismusra, hogy az összeadás commutativitasát levezeti az összeadás associativitasa és a szorzás distributivitasa alapján. (Grundlagen d. Oeom. 1930?- p. 243.) **) Némelyek azt mondják: a szabály nem fontos! Pedig az alapvetésnél igenis nagyon fontosak a szabályok (t. i. a lényeges szabályok); az algebra későbbi részeiben azu- 1 tán egyre kisebb jelentőséggel bírnak. A különleges matematikai érzékkel bíró tanulók természetesen az alapokat is jól el tudják sajátítani szabályok nélkül, de az ily tanulók száma elenyészően kicsi. ***) A szorzás commutativitasára és associativitasára vonatkozóan H. Schubert Elementare Arithmetik und Algebra c. könyvében levő bizonyításokat veszem fel a vezérfonalba (a commutativitasra vonatkozót kissé megrövidítve), mert ezek a szokásos többi formális bizonyításokkal rokonszerkezetűek és mindenesetre könnyebbek, mint Poincarénak a matematikai inductio általi bizonyításai, melyek csak a legfelső osztályban találhatnának megértésre. 16