Ciszterci rendi Szent István katolikus gimnázium, Székesfehérvár, 1892
12 Ha jcijz koordinátákat s az evolvenshez tartozó többi mennyiséget ismét valamely paraméter függvényében gondoljuk kifejezve, úgy ez egyenletek az osculálógömbök középpontjainak görbéjét fejezik ki. Nem tartalmaznak integrációnális állandót, tehát minden evolvenshez ilyen csak egy tartozik. Levonva a IV. alatti koordinátákat a megfelelő görbületi középpont koordinátáiból (II.), úgy a 3. szakasz 2. alatti összefüggéséhez hasonlóan találjuk, hogy y X%—X{) y-> - ?/0 Z2—Zu fa ~ Cii ' a mi azt bizonyítja, hogy az osculáló gömb középpontja is a tengelyen van, tehát ezeknek görbéje is a tengelyek által képezett evolutafeliileten fekszik. Ezen görbe, mint már előbb említettük, az evolutafelületen kiváló szerepet játszik. Képeztetik ugyanis a görbe szomszédos tengelyeinek metszéspontjai által. Ezek metszéspontja oly három szomszédos normálsík metszéspontjával esik össze, melyek kettejének metszései épen a szomszédos görbetengelyek. E pontot pedig a normálsík egyenletéből differenciálás és a fent már használt átalakítások folytán származó {xtí—x) a\ + («/Ü— y) fa + (zo z) a 0 (xo —x) a2 + (yo—y) fa + (20 - z) cz r (xo—x) az + (yo--y) fa + (zo-z)c-i egyenletek határozták meg. Egy tekintet meggyőz minket arról, hogy ezek a 4., 5. és 6. alattiakkal teljesen azonosak Tehát az osculáló gömbök középpontjai a görbe szomszédos tengelyeinek metszéspontjai s így e pontok összesége a görbetengelyek, mint nemzővonalak által képezett lefejthető evolutafelület fordulati görbéje lesz s érintetik az evolvens összes tengelyei által. Az osculáló gömbök középpontjait meghatározó IY. alatti egyenletek megegyeznek a III. alattiakkal, ha az előbbiek harmadik tagja nulla, a mi bekövetkezik, ha dn 0 vagyis n állandó. Oly görbéknél tehát, melyeknek első görbületi sugara változatlan az osculáló gömbök középpontjainak görbéje vagyis a megfelelő evolutafelület fordulati éle a görbületi középpontok görbéjével összeesik. Az osculáló gömb sugara igen egyszerű összefüggésben van a görbe két görbületi sugarával, ha ugyanis a 7. alatti egyenletet, s ebből cyclikus felcserélés utján származókat négyzetre emelve összeadjuk, lesz I.rn— #) 2 + (í/(i yf i- (go • z)' z n 2 H V 2— vagyis
