Örmény Katolikus Gimnázium, Szamosújvár, 1887

6

Oszszuk ol a felsőfokú egyenletet (x—p) gyökszorzójával, lenni fog:

) xn + Ax”-1 + Bx—2 +

...............-f Sx-f-T (: (x—p) = -?- =0 ;

e

kkor az egyenlet első részéből nyerünk egy hányadost, mely újra egyenlő O-sal és (n—l)-ed fokú egyenletnek irható ; alakja:

xn_1 + Aj xn_2 + B, xn-8+...... R, x + Sj-f-T,=0.

E

zen egyenlet tagjainak száma egy gyei kevesebb s az x exponense egy egységgel kisebb, mint az eredeti egyenleté; az ismeretlen szorzószámai az n-ed fokú egyenlet ismeretlenének szorzószámaitól külömböznek.

Ha ezt az egyenletet (x—pt) gyökszorzójával osztjuk, úgy (n—2)-ed fokú hányadost fogunk találni, melyet megint egyenlet alakjába írhatunk, de melynek tagjai egygyel keve- sebbedtek. Észrevehető már hogy a felsőfokú egyenlet min- denik tagja elenyészik, ha n-szer osztunk a gyökszorzókkal.

Ebből már megjegyezhetjük, hogy a felsőfokú egyenletet anuyi gyökszorzóra szétbonthatjuk, mint a hányadfokú maga az egyenlet.

Minthogy a felsőfokú egyenletnek lehetnek imaginer gyökei is, ennélfogva a gyökszorzók között (x—p—q F—- V) és (x—p-fqF—T) alakú is fordul elő; mivel pedig az imaginer gyökök párosak, azért e gyökszorzók szorzata:

x2— 2px + p2 + q2

másodfokú háromtagú mennyiség lesz.

Ezekből következik, hogy a felsőfokú egyenletet minden esetben valós gyökszorzókra bonthatjuk, melyek vagy elsőfokú kéttagú, vagy másodfokú háromtagú mennyiségek a szerint, a mint a gyökök valósak vagy imaginerek.

4. A felsőfokú egyenletek alakítása. Minthogy a hányadossal szorzott osztó az osztandó eredményezi : ennélfogva a gyökszorzók szorzata lesz azon egyenlet, melynek gyökeiből a gyökszorzókat előállítottuk.

Tehát ennek a felsőfokú egyenletnek:

xD+Axn-1 + Bxn-2+.............+ Sx + T = 0