Evangélikus egyházkerület főtanodája, Sopron, 1855

6

a’ £ vj. De ez mindenik a1 £ vj közt csak első rendű lévén, e’ mennyiségek egyikét határozatlanul hagyja, mellynek változtatása, a’ két öszvetartozó öszrendezöknek egész sorát adja, és igy az egyenletben elő forduló w szögnek maradtával több egymással egyenközü ivhurok rendszerét, mellyek középpontjai P, P' P" . . . . mind egy egyenes vonalban feküsznek, mellynek egyenlete t — o. Ez, az egyenközü ivhurok rendszerét felező egyenes, átmérőnek mondatik. Tehát a’ másodrendű vonalok átmérővel is bimak.

Illyen átmérő továbbá lehet talán több is?

E’ kérdésre ismét a’ t r o egyenletet vegyük kérdőre, melyben a’ £ vj menyiségen kívül még egy szinte tetszésünktől függő w menyiség is van melly nem egyébb, mint azonszöglet, mellyet az M G ivhur a’ metszékek tengelyével képez.

Hogy pedig a’ (4) alatti egyenlet £ v minden változtatásánál, és a’ w szögletnek tetszés szerint váló sztott értékeinél megállhasson, az előbbi két menyiség £ vj úgy lessz mindenkor választandó, hogy az

A£ + Cvj 4- D = o és C£ + Bv, + E = o

(7)

egyenletekben kijelentett feltételek különkülön teljesedjenek. Ezeknek telyesedése a’ görbéknek középpontját határozza meg. Mert az mondatik hogy £ v- mindenkor az ivhur közepén álljon a’ w szögletnek minden képzelhető értékéinél, vagy az ivhurok minden gondolható irányainál. De ez jellemző tulajdona a’ görbék közép pontjának.

Minden rendszere az egyközü ivhuroknak pedig hír egy átmérővel; és igy anyi átmérővel fog egy görbe vonal bimi, a’ hány abban az egyközü ivhuroknak lehetséges rendszere, mellyek száma a’ w szöglet határozatlansága miatt igen nagy lévén, az átmérők számát igen nagynak állítjuk.

Olly átmérő, melly a’ prll ivhurok rendszerét nem csak felezi, de arra függőlegesen is áll, föátmérö nevet visel. Kérdezzük: ha illy énnél bírnak e’ a’ másodrendű vonalok, és ha birnak, azok száma mennyi ? Legyen egy illyen átmérő PQ, annak rendezői £ és a’ metszékek tengelyével képzett szöge 4, úgy annak egyenlete

K — £ tg d" + b

...................................(8)

l

eend; avagy minthogy az (4) alatt lévő egyenlet az átmérők atalános egyenletét képviseli, következőleg a’ íő átmérőjét is, mely ■* szerint feloldva ( A Cosw + C sinw 1 D Cosw -f- E sinw

1 | C Cosw -r B sinw j C Cosw -(- B sinw ' '

(9)

(10)

lessz, és a’ (8) alatti egyenlettel azonosítatván, következik:

A Cos w + C sin w % ^ — C Cos w —f— B sin w

Ha tehát a’ (9) dik egyenlet egy fő átmérőt ad, mivel M P Q szögnek 90° fokot kell tenni, lessz

tg w + tg 90°

a! CPQ /\ bői, mellyre nézve 4 egy külszög, 4 — w + 90, és tehát tg 4 = tg (w-f-90) — j_tgw tg90°

t

g w — 00 1 Cosw

= 1 — tgw00 va§y véSre: ^ = - tgw = - Ctsw = - IhTw.........................(n)

C

os w A Cos w + C sin w

ebből és (10) egyenletből most, = CC^Tw + Bsinw ..................................................(12)

ho

l a’ törteket kiküszöbölvén és az egyenletet w szerint rendezvén, nyerünk egy a’ w szögletet meghatározó

A —B

kitételt: tg2w + q tgw — 1 = 0.............................................(13)

E

zen egyenlet másodrendű lévén abból w szögnek két értéke szármoztatható, mellyek vagy valódi vagy képzetes értékűek (ez utóbbiakról azomban elölegesen azt jegyezzük meg hogy később elősorolandó okoknál fogva azok einem fogadhatók), vagy egymással mind jel, mind számértékre egyenlők, ’s igy egyé olvadnak öszve. Legyenek a’ w ezen két értékei w, és w2 úgy azok a’ következő képletben foglaltatnak:

(A—B) V (A-B)2

tgw = — 2C ± “ 4C« + 1 •

(14)