Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)

Dr. Ádám András - Dr. Dömösi Pál: Kalmár László

kerekedjék akörül: mennyiben tekinthető egységes eljárásnak egy módszer, amely végtelen sok részproblémát szolgáltat a speciális eseteiben. Az is alapos elemzést igényel, meggyőző dolog-e valaminek a ténylegesen megkonstruálható voltát azonosítani azzal, hogy előállítható-e az a valami általánosan rekurzív módon. Ezt az azonosítást Church-féle hipotézisnek szokás nevezni. A konstruálhatóság itt intuitív koncepció, az általános rekurzivitás szabatosan körülhatárolt matematikai fogalom.

Kalmár László több tartalmas közleményt (5. ábra) szentelt ilyen jellegű kérdések tanulmányozásának [28], [57], [61]. Megmutatta, hogy a Church-féle értelemben vett eldönthetetlen probléma létezése következik Gödel (korábban általunk már említett) rokon eredményéből, elemezte a kérdéskör ismeretelméleti vonatkozásait, és foglalkozott a Church-féle hipotézis meggyőző voltának kérdésével. Az általánosan rekurzív eljárás fogalma egyszersmindenkorra adva van, ezzel szemben Kalmár felfogása szerint a tényleges konstruálhatóság köre tudásunk fejlődésével egyre bővül. Amit ma meg tudunk szerkeszteni, amit ki tudunk számítani, az valóban mindig általánosan rekurzív, de idővel esetleg az általános rekurzivitás körén kívüli függvények egyikének-másikának az értékei is megadhatóak lesznek.14 Az, hogy a mindenkori matematikai eszközeinkkel mi érhető el, eleven és változó dolog, amit nem lehet egy merev definíció béklyójába zárni.

* * *

Amikor a Gentzen-féle és Gödel-féle tételek ismertetését készítettük elő, úgy állítottuk be a kérdéseket, hogy alapul veszünk bizonyos axiómákat: Aj-et, A2-1, . . . A„-et és az érdekel minket, hogy melyek azok a — mondjuk, J5-vel jelölt — állítások, amelyek következnek az

Aj & A2 &...&. An

alapfeltevésből. (B-t futtattuk, az A-kát rögzítve gondoltuk.) Arról volt tehát szó, hogy (a matematikai logika jelöléstechnikáját tovább alkalmazva) az

(Aj & Ao & ... & An) —>B

típusú formulák közül melyek érvényesek és melyek nem.

Általánosságban úgy is fel lehet vetni a kérdést, hogy adjunk egyetemes módszert, amely képes arra, hogy az elképzelhető értelmes formulák akármelyikéről

14 Másfelől — amint Péter Rózsa mutatott rá [C. 9] — az általános rekurzivitás körén belül is vannak függvények, amelyeket aligha lehet ténylegesen kiszámíthatóaknak tekinteni.

63