Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)
Dr. Szénássy Barna: Bolyai Farkas
telménynek. Ha igaz, hogy p-ben vagy utoljára áll fenn A, vagy először áll fenn nem-A, akkor (a kifejezés pontatlansága ellenére) a p felső határ. Mindenesetre e mondatokban a Dedekind-szelet (1872) gondolata is benne rejlik. Bizonyára nem ok nélkül minősítették a Tentamen második kiadásának előkészítői (König Gyula és Réthy Mór) Bolyai Farkas talán legjelentősebb gondolatának ezt a definíciót. A Tentamennek az aritmetikát megalapozó egyes fejezeteiben olyan értelmezések is olvashatók, amelyeket — hacsak azokat nem kifejezetten a szigorú alapvetés szemszögéből nézzük — a halmazelméletbe kell sorolnunk. Érthető, hogy a megfelelő szakkifejezések hiányában definícióinak a megfogalmazása nehézkes, előfordul, hogy csak később, egy-egy alkalmazás során válik világossá értelmük. A ponthalmazok mai terminológiája szerint a következő fogalmak szerepelnek műveiben: halmaz, halmazok metszete, halmazok egyesítése, üres halmaz. Az elválaszthatatlan rész (pars indivellibilis) egy zárt ponthalmaz határpontjainak a halmaza; az alkotórész a ponthalmaz valódi részhalmaza. összefoglalóan meg kell állapítanunk, hogy Bolyai Farkas a matematika megalapozása terén mindenütt iparkodott megteremteni azokat az építőköveket, amelyek a múlt század elején még hiányoztak. Sajnos, ilyen gondolatai nem váltak a matematika fejlődésének hatékony tényezőivé. A Tentament nagyon kevesen olvasták, még kevesebben értették és emiatt Bolyai Farkas fölfedezései más külföldi és szerencsésebb matematikusok — kétségtelenül kiforrottabb — megfontolásai révén váltak e tudomány nélkülözhetetlen fogalmaivá. * * * Különös gonddal járt el Bolyai Farkas a geometria fölépítésében. Euklidészt követve az axiomatikus módszert választotta, és számos megjegyzés igazolja, hogy a közelébe férkőzött mindazon követelményeknek, amelyeket — főként Hilbert óta — szokott a modern matematika az axiomatikus módszerekkel szemben támasztani. Explicite vagy implicite nála is szerepel az evidencia, az axiómák kölcsönös függetlensége, az ellentmondástalanság és a teljesség. Magának az axiomatikus módszernek a lényegét is megfogalmazta az őt jellemző körülményes szöveggel, de precíz tartalommal. Néhány idézet állításunk igazolására. Az 1830-ban megjelent Aritmetikában ezt olvassuk: ,,Az ész, minekutánna valamely tudományban mindenünnen okról okra menve, némelyeknél meg áll; részszerint tovább nem mehetvén, részszerint további ok nélkül is igazaknak látván . . . kiteszi ezeket, az eléadás rövidítésére, s hogy tisztábban lássék, melyik igazság állíttatik magában további ok nélkül, s meljik okmutatással; s mi az alap, mellyen az egész alkotmány áll.” ([I] X. o.) Észre kell vennünk, hogy az idézet első mondatában nem csupán a geometriáról vagy az aritmetikáról van szó, hanem általánosabban „valamely tudo3* 35
