Szőke Béla (szerk.): Műszaki nagyjaink 3. Fizikus és matematikus alkotó oktatók, főként a mérnökképzés tanárai sorából (Budapest, 1983)
Sztachó Lajos: Kürschák József
bármely racionális együtthatójú elsőfokú ax-{-b=() (ci^O) egyenlet megoldható a racionális számok tartományában. A számkör további lényeges bővítésére azonban két út kínálkozik most: az egyik algebrai, a másik geometriai jellegű. A racionális számok körének algebrai jellegű bővítése abban áll, hogy tekintjük az összes racionális együtthatós magasabbfokú egy ismeretlenes egyenletek gyökeit (az úgynevezett algebrai számokat) és ezeket csatoljuk a racionális számokhoz. Az így nyert bővítést algebrai lezárásnak nevezik. A racionális számok tartományának geometriai jellegű bővítése viszont abban áll, hogy a racionális számok nagyság szerint rendezett halmazában két osztályt alkotunk, amelyeknek a következő tulajdonságai vannak. 1. Minden racionális szám benhe van valamelyik, de csak az egyik A, illetve B osztályban. 2. Az alsó szelet (A) valamennyi száma kisebb a felső szelet (R) minden számánál. A racionális számoknak minden ilyen Dedekind-iéle kettéosztását számnak tekintjük. Ezen szeletalkotásra mindig igaz, hogy a) vagy az A osztályban van egv legnagyobb R racionális szám (és ekkor a felsőben nincs legkisebb); b) vagy a felső osztályban van egy legkisebb r racionális szám (és ekkor az alsóban nincs legnagyobb); c) vagy pedig sem az alsóban nincs legnagyobb, sem a felsőben legkisebb elem. (Logikailag lehetséges, hogy mindkét osztályban legyen R, ill. r, azonban ekkor R<r volna, de R és r között nem szabadna racionális számnak lennie, pedig R + r 2 racionális, és R és r közé esik.) Az első két esetben a Dedekind-féle szelet racionális számot, a c) esetben pedig irracionálist értelmez. Minden esetben azt mondjuk, hogy a szelet valós számot határoz meg. Ha a szelet racionális számot határoz meg, az alsó szelethez csatoljuk. Tekintsünk két x és y valós számot. Jelentse rx azon valós számok halmazát, melyek rr-nél nem nagyobbak, Rx pedig, amelyek x-nél nagyobbak. Bizonyítani lehet, hogy az rx-\-ry racionális számok felső határa és Rx-\-Ry racionális számok alsó határa megegvezik és ezért értelmezésként sup{rx-\-rv)—x-\-y=inf (RXARy). Hasonló módon halmazok alsó és felső határa segítségével lehet definiálni a valós számok szorzatát, különbségét és hányadosát. A valós számok összessége ún. perfekt számsokaság. (Egy halmazt akkor nevezünk perfektnek, ha tartalmazza összes torlódási elemét). Ez a tény biztosítja, hogy a valós számok tartományán belül bizonyos végtelen eljárások a számegyenes egyetlen pontjához konvergálnak. A valós számok összessége is szűknek bizonyul, algebrai szempontból; pl. az a;2-f-l=0 egyenletnek a valós számok körében nincsen megoldása. A komplex 265
