Szőke Béla (szerk.): Műszaki nagyjaink 3. Fizikus és matematikus alkotó oktatók, főként a mérnökképzés tanárai sorából (Budapest, 1983)

Szénássy Barna: Kőnig Gyula

A halmazelmélet és a matematikai logika tárgykörébe vág König Gyula legnehezebben követhető, már poszthumuszként megjelent munkája, a logika, az aritmetika és a halmazelmélet alapjairól írott műve [92]. A könyv utolsó fejezetének írása közben hullott ki kezéből a toll, az utolsó simítást, a korrektúra nehéz munkáját König Dénes, Kürschák József és Hausdorff végezte ei.

Magyar nyelven mind ez ideig a könyvnek csupán két fejezete látott napvilágot [90, 91]27.

Hosszadalmas előkészítést igényelne, ha e könyv lényegesebb gondolatainak ismertetésébe kezdenénk, elégedjünk meg egy benne található eredmény érintésével.

Egy valamilyen geometria rendszer vizsgálatához szervesen hozzátartozik annak eldöntése, hogy vajon a kérdéses rendszer nem tartalmaz-e belső ellentmondást : vagyis nem vezethető-e le benne két olyan tétel, melyek közül az egyik tagadja azt, amit a másik állít. A századforduló tájáig a haatematikusoknak sikerült a különféle geometriai rendszerek relatív ellentmondástalanságát igazolniok: az euklideszi geometria, valamint a különféle nem-euklideszi geometriák ellentmondástalanok, ha a valós számok aritmetikája ellentmondástalan. Ezek után jogosan tette fel a kérdést 1900-ban Dávid Hilbert: vajon ellentmondástalan-e a valós számok aritmetikája? Ezzel a kérdésfeltevéssel kezdett fontos kutatási témává válni az axiómákra épített különféle matematikai diszciplínák abszolút ellentmondástalanságának kérdése. Ennél az axiomatizált tudományt magában véve kell vizsgálnunk az ellentmondástalanság szempontjából, és nem ,,modell”-izálhatjuk valamely más tárgykörben.

Az abszolút ellentmondástalanság eldöntésére szolgáló módszert legelőbb — 1904-ben — maga Hilbert mutatott be. Módszerének igen nagy az elvi jelentősége, azonban az általa kidolgozott példában annyira mesterkéltek az axiómák és a következtetési módok, hogy azok révén az aritmetikának csupán kis töredéke építhető fel.

A második lépést König Gyula tette meg, kidolgozva könyvében az „értékelés-módszer”-t. Ennek lényege Kalmár László megfogalmazása szerint28 a következő:

,, . . . az adott axiómarendszer formuláihoz hozzárendeljük az t és j logikai értékeket29, minden formulához legfeljebb az egyiket, úgy, hogy a következő feltételek teljesüljenek:

1. minden axiómához az t logikai értéket rendeljük hozzá;

2. ha bizonyos formulákhoz az t logikai értéket rendeltük hozzá, akkor az olyan formulákhoz, amelyek ezekből a következtetési szabályok valamelyikének alkalmazásával kaphatók, szintén az t logikai értéket rendeljük hozzá;

3. ha az f formulához az t logikai értéket rendeltük hozzá, akkor az f formulához a | logikai értéket rendeljük hozzá.”

15 Műszaki nagyjaink III.

225