Szőke Béla (szerk.): Műszaki nagyjaink 3. Fizikus és matematikus alkotó oktatók, főként a mérnökképzés tanárai sorából (Budapest, 1983)
Szénássy Barna: Kőnig Gyula
Halmazelmélet és matematikai logika A halmazelmélet néhány meglepő, az addigi ismeretekkel össze nem egyeztethető eredménye az első időkben heves vitákat váltott ki, és sokan kétségbevonták az új diszciplina értékét. König Gyula az elsők közé tartozott, akik felismerték a halmazelmélet jelentőségét, és több szép eredménnyel maga is hozzájárult annak felépítéséhez. Legelső ilyen tárgyú — sohasem publikált — eredménye a kontinuumok számosságára vonatkozik. Azt, hogy a két- és az egyméretű kontinuum számossága megegyezik, legelőször 1877-ben Georg Cantor igazolta, őt követőleg hamarosan újabb- és újabb bizonyítások születtek. Mindezek lényege — akár aritmetikai, akár geometriai eszközöket vettek szerzőik igénybe — az, hogy az egységnégyzet pontjait kölcsönösen egyértelmű módon leképezzük az egységszakasz pontjaira. Jelölje a derékszögű koordinátarendszerben elhelyezett egységnégyzet pontjait az (x,y) rendezett számpár (Ocr^l; 0<y^l), az egységszakasz pontjait pedig 2 (0<2^ 1). A Cantor-féle tételre talált első bizonyítások általában végtelen lánctörtekkel adták meg x és y értékét, és ezekbő! bizonyos szisztéma szerint, ugyancsak lánctört alakban állították elő a hozzájuk tartozó z-t. Közelfekvő volt ezek után az a gondolat, hogy a lánctörteket tizedes törtekkel cseréljék fel, kikötvén, hogy különböző tizedes törteknek az egységszakaszon, illetve az egységnégyzeten különböző pontok feleljenek meg. Itt azonban egy kis nehézség jelentkezik: ugyanis pl. 0,5 és 0,49999 . . . egymástól különböző tizedes törtek, de — mint ismeretes — a számegyenesen ugyanazon pontot jellemzik. Ezt a nehézséget azonban könnyű elhárítanunk: csak abban kell megállapodnunk, hogy olyan esetekben, midőn egyazon pontot kétféle — véges és végtelen — törttel is jellemezhetünk, mindig a végtelent választjuk (tehát pl. a 0,3 számmal is jellemezhető pontot így adjuk meg: 0,29999 . . .). Ezzel mindig biztosítható az, hogy x = 0,axa2a3 . . .; y = 0,b1b2b3 . . . tört részei végtelen sok 0-tól különböző jegyet tartalmazzanak. Állítsuk elő mármost z-t a következő előírásnak megfelelően: z = 0, a1b1a2b2a3b3 . . . Azonban könnyen belátható, hogy ilyenmódon nem jutunk el az összes lehetséges 2 értékhez. Pl. a következőhöz sem: z = 0,c1c20c30c40 . . . Ehhez ugyanis az kellene, hogy x = 0^0000 . . . legyen, de ilyen x értéket fentebbi kikötésünk értelmében nem is választhatunk, mivel nem tartalmaz végtelen sok 0-tól különböző számjegyet. König Gyula ügyes ötlete alapján a Cantor-té\e tétel bizonyítása mégis felépíthető a végtelen tizedes törtekre. Ehhez ugyanis az előbbieken csupán annyit kell változtatnunk, hogy x és y végtelen tizedes törtekkel megadott értékében nem egyes jegyeket, hanem bizonyos számjegy-csoportokat — miként Felix Klein mondta19: nem ,,atom”-okat, hanem ,,molekula”-kat kell a leképezés 222
