A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről
- 35 — esetében) kimutattuk s amíg rájöttünk, hogy a recursiv módon értelmezett kivonás az összeadásnak fordított művelete. Ezéntúl tisztán az összeadás com- mutativ es associativ voltára s a különbség alaptulajdonságára (5. §. 3. képlet) kellett hivatkozni. Az, hogy a kivonás csupán kivételesen volt elvégezhető (nagyobból kisebbet lehetett kivonni), itt teljesen mellékes; lényeges az hogy a kivonás egyértékű művelet. Kimondhatjuk általában, hogy bármilyen módon defináljunk műveletet, mely két elem esetén commutativ, három elem esetén associativ: már e művelet, ha fordított művelete egyértékű, tulajdonságaiban az összeadással, fordított művelete a kivonással megegyezik s e műveletnek fordított műveletével való összes kapcsolatai teljesen azonosak az összeadásnak és kivonásnak egymással való kapcsolataival, mert ezek a commutativ, associativ tulajdonságnak s a művelet egyértékű megfordítható- ságának logikai következményei. A tett észrevétel a szorzásra és fordított műveletére, az osztásra is alkalmazható. A szorzás a számoknak olyan kapcsolata, mely két elem esetén commutativ, három elem esetén associativ, s a szorzás megfordított művelete, az osztás, egyértékű művelet. Mindazon tételek, melyek csupán a commutativ és associativ tulajdonságtól függenek: teljesen azonosak az összeadás és kivonás megfelelő tételeivel. Ha képzelünk egy nyelvet, mely a magyar nyelvtől csupán abban különbözik, hogy ami magyar nyelven összeadás és kivonás, az az új nyelven szorzás és osztás, s az összeadásnak és kivonásnak összes kapcsolatait, kivévén a definitiójukat, ezen új nyelvre lefordítjuk: alakilag azon kapcsolatokat nyerjük, melyeket a szorzásról és osztásról szóló fejezetekben megállapítottunk; de ezek még mindig tulajdonképen az összeadásról és kivonásról szólnak, csakhogy az új nyelven. Ha azonban az új nyelvet elfelejtjük s a tételeket magyar nyelven olvassuk, a szorzásról és osztásról nyerünk tételeket, melyek igazak maradnak. A szorzásnak és osztásnak azon tételei térnek el az összeadás és kivonás tételeitől, melyekben a szorzás és osztás az összeadással és kivonással van kapcsolatban, amelyek tehát a szorzás distributiv tulajdonságától függenek. Ezen tételcsoportoknak megfelelő analogia az összeadásnál és kivonásnál nincsen; a szorzás tulajdonságokban gazdagabb művelet az összeadásnál, mert az összeadást a szorzással kapcsoltuk, miáltal a szorzásnak új tulajdonságait nyertük ; ezen tulajdonságok nem tekinthetők az összeadás tulajdonságainak, mert a szorzást a már ismert összeadásra alapítottuk, s amíg nem tudjuk, hogy mi az összeadás, addig nem tudhatjuk azt sem, hogy mi a szorzás ; tehát a distributiv elvből származó tételek a szorzás tulajdonságai. Számaink körében úgy a kivonás, mint az osztás csak feltételesen végrehajtható műveletek. Az a kívánságunk, hogy a kivonás s az osztás feltétlenül végrehajtható legyen, új fogalmak, a természetes számokból mesterségesen összerakott új számfogalmak megalkotásával teljesülhet. Az új fogalmak a nulla, a negativ számok s a törtszámok ; ezek megalkotását, a gyakorlati szükségtől indíttatva, az ember már régen megtette, még mielőtt felfogása oda fejlődött volna, hogy azok igazi jelentésével tisztába tudott volna jönni. 3*
