A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

- 20 —

tűk az 1) recursiv képletet, s így e tulajdonságok nincsenek kimutatva, ha az összeadok között az 1 is előfordul. Ezt külön pótolnunk kell. Mutassuk ki először a commutatio törvényét, hogy

1+a = a+1.

Az 1) recursiós képlet szerint

1+a = 2+(a—1) = 3—(-[(a—1)—1] — . . . s ez mindaddig folytatandó, míg az a-ból az ismételt levonások miatt csak 1 marad. Most vegyük figyelembe, hogy az

1, 2, 3, ... [(a—1)—1], (a —1), a

a, (a—1), L(a—1)—1], ... 3, 2, 1,

két sorozat egymással egyértelmű megfelelésben van ; ha tehát az 1-tcl előreszámlálunk s ezzel egyidejűleg az a-tól vissza : amikor a visszaszámlálásban az 1-hez jutunk, ezzel egyidejűleg az előreszámlálás a-hoz vezet. De a recursiós képlet éppen ezt kívánja (mert 1-hez a-t, másodszor 2-höz a—1-et stb. kell adni). Világos ebből, hogy az összeg átmegy a+l-be, tehát

1+a = a+1.

Az associativ tulajdonság kimutatása is egyszerű. Kiindulunk ebből: a+(l+c) — a+(c+l)

s kimutatjuk, hogy ez egyenlő (a+l)+c-vel. A recursiós képlet szerint a+(c+l) = (a+l)+[(c+l) — 1] = (a+l)+c,

tehát

a+(l+c) = (a+l)+c;

a 3) egyenlet bizonyításának érvényessége arra az esetre is kiterjed, ha a vagy c értéke 1, tehát az associatio törvénye a commutatióéval együtt ékkor is érvényes, ha az összeadandók között az 1 is előfordul.

Még azt a megjegyzést tehetjük az összeadásra, hogy a recursiv képlet

id

(a—L)+l=a = l+(a—1) = (l+l)+[fa-l)-l] = . . . =1+1+ . . . +1 arra mutat, hogy minden szám mint az 1-ből összerakott összeg állítható elő. Ez a számláló számot új jelentésben tünteti fel, mert eddig a számláló számok csupán sorrendet jelölő jegyek, sorszámok voltak ; az összeadás művelete azonban minden számot egységek sokasága gyanánt tüntet föl. Ezen felfogásban a számláló számokat tőszámoknak nevezzük.

5 £>. JJ kivonás.

Valamely 1-től különböző számnak (a) és 1-nek különbsége az a-t a számsorban közvetlenül megelőző szám legyen

a—1.

Ha most a-nak és b-nek, két tetszőleges számnak különbségét akarjuk értelmezni, az a számlálás (az 1 hozzáadása) és a visszaszámlálás (az 1 le