A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

— 17 —

e szerint az

a+l> (a +~1) +1» L(a+1) 4*1] +1» ... és

C+l, (C+l) +1, [(C+1) +1] +1------sorozatok tagjai a

b—1, (b—1) -1, [(b—1) -1] -1, . . . sorozat tagjaival, tehát egymással is egyértelmű megfelelésben vannak. Ha még a-hoz c-t és a+b-hez c+b-t, mint társat rendeljük, be van bizonyítva, hogy az a) és ß) sorozat tagjai a felirt sorrendben egymással egyértelmű megfelelésben vannak. De ha két sorozatról bebizonyúlt, hogy azok tagjait bizonyos sorrendben elsorolván, a tagok egymásnak egyértelműen megfelelnek: az egyértelmű megfelelés akkor is létesül, ha az egyik sorozatot fordított sorrendben járjuk végig. Ha tehát az a) és ß) sorozatokat úgy Írjuk fel, hogy a ß) sorozat tagjainak sorrendjét ellentétesre változtatjuk :

a» a+l, (a+l) +1, • • • L(a+b) —1] —1, (a+b) —1, a+b. a") c-j-b, (c—(—b) -1, [(c+b) -1] -1, . . . (c+l) +1, c+l, c ß"), az egyértelmű megfelelés ezen sorrendet követve is fennáll, vagyis „a“ társa c+b; a+1 társa (c+b) —1 stb, s végül a + b társa c. Ezt az észrevételt úgy is kifejezhetjük, hogy ha a számsorban az a-tól egy-egy taggal előre s ezzel egyidejűleg a c+b-től egy-egy taggal visszafelé haladunk : amint az előrehaladás folyamán a+b-hez jutunk, vele egyidejűleg a c+b-lől történő visszafelé haladás a c-hez vezet, pl. 3+4 és 5+4 esetében

3, 3+1, 3+2, 3+3, 3+4 5+4, 5+3, 5+2, 5+1, 5.

Az előrebocsátottakat szem előtt tartva, könnyű a 3) egyenlet igaz voltát kimutatni. A 2) figyelembe vételével nyilvánvaló, hogy

a+ (b+c) = a+ (c+b), s ha most ki tudjuk mutatni, hogy

a+ (c+b) = (a+b) +c, akkor az a+ (c+b) helyett a vele egyenlő a+ (b+c)-t Írván, egyersmind

a + (b+c) = (a+b) +c.

Az összadást definiáló recursiv képlet értelmében a + (c+b) = (a+1) + [(c+b) - 1 ]=[(a+l) + 1] +{[ (c+b) - 1 ]- l}=... tehát ha az

a + (c + b)re az összeadás recursiv képletét alkalmazzuk, azt vesszük észre: hogy a képlet ismételt alkalmazása épen az a") és ß") sorozatok tagjainak egyértelmű megfelelését létesíti, mert a recursiv képlet egyszeri alkalmazásánál az a szám eggyel nagyobbodik, a c+b szám ellenben eggyel fogy; a másodszori alkalmazásnál az „a“ szám ismét eggyel nagyobbodik, a c+b szám ellenben ismét eggyel fogy. De az előbb elmondottak (az a" és ß" sorozat tagjainak egy2