A Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáliskola Értesítője az 1889/90. tanévről
Maksay Zsigmond: Az algebrailag megoldható egyenletek gyökeinek szerkesztése másodrendű görbe vonalokkal
8 — Mielőtt az általános harmadfokú egyenletnek, a componens egyenletek által adott görbék alapján részletes megbeszéléséhez fognék, tekintsük a tiszta harmadfokú egyenletet. A meghatározó görbék egyenletei ez esetre, minthogy »a« és »b« egyenként zérussal egyenlők, ezek : K = íx- IV H- ( y + —) l 2 ) V 2 / P = y* - x = 0, ’ ragy: xs -+- cy : E szerint a tiszta harmadfokú egyenlet egyetlen valós gyökét egy kör és parabola, vagy két parabola metszéspontjának közös ordinátája adja meg. Jellemzi ez egyenleteket, hogy mindegyik görbe a kezdő ponton megy át, de e közös pont ordinataja nem felel meg az adott egyenletnek, hanem e negyed fokúnak: z4 -t- ez = 0 adja z — 0 gyökét. A vegyes harmad fokú egyenletnek gyökei meghatározására szolgáló görbe vonalak szintén birnak oly közös ponttal, mely nem az adott egyenletnek, hanem e negyed fokúnak: z4 + az3 ■+■ bz2 -+- ez = 0, z = 0 gyöke meghatározására szolgál s e pont az x tengelynek x = b által adott pontja. E szerint, a mi már magában is világos, minden harmad fokú egyenlet oly negyed fokúnak tekinthető, melynek egy gyöke zérus. Az algebrai elemzés kiderítette eredmények után szinte fölöslegesnek látszik a gyökök vizsgálatával a componens egyenletekben adott görbék alapján is foglalkozni, mert uj ismérvek nem derithetők ez utón se ki s e mód legfölebb a szemlélhetőség előnyével bir ama fölött. Mégis a tárgyalás teljessége czéljából, bár némileg az algebrai elemzés megállapította eredmények fölhasználásával, a gyökök vizsgálatát a jelzett alapon is megkísérlem kifejteni, előre megjegyezvén, hogy mivel az ismeretes négy eset (voltaképen hái’om, ha a diseri- minansra fektetjük az osztályozást) egyike sem oly természetű itt, mint a Gardan-féle képlet alkalmazásánál az utolsó, az egészet egyszerre tárgyalhatjuk. A kifejtés alapelvét a következőkben jelzem: A kört és az 1. egyenlet által adott parabolát tekintvén a meghatározó görbe vonalakul, azt kell kimutatni: hány oly valós értéke van »y«-nak, mely a kör középpontjának a parabola kerületétől mért távolát minimummá vagy maximummá teszi. Világos dolog ugyanis, hogy minden oly pontja a parabolának, mely a kör középpontjától maximum vagy minimum távolban van, két valós vagy képzetes metszéspont közé esik, vagy azokkal közös pl. a két görbe érintkezése esetében. Minthogy pedig a két görbe vonal a már említett közös ponton kívül legfölebb három pontban metszheti egymást — a minimum és.
