A Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáliskola Értesítője az 1889/90. tanévről

Maksay Zsigmond: Az algebrailag megoldható egyenletek gyökeinek szerkesztése másodrendű görbe vonalokkal

— 14 —

z3 + az2 — (a+c+1) z+c = 0 egyenlet (z—1) tényezővel osztható. A más két gyök ez esetben is az eredő másodfokú egyenletbőt határozható meg s lesz :

7 _ _(a+l) + K(a+l)a+4c.

2

Pl. Legyen adva: zs — 4z2— 3z + 2 = 0, melyre nézve valóban: h = a + c—1. Ez egyenletnek a negatív egység valóban gyöke, tehát:

„ _ _ i 7 _ 5+ VT1 _ 5- V17

A negyedfoku reducált egyenletre nézve a hyperbola egyenletet

h = (*-»7') - (y- b2 )*- = o

s igy ha: (a+1,2 = b2 + 4c az egyenlet két elsőrendű tényezőre bontható, melyek:

.. a + b—I

L( — x + y-------2--- = 0.

E

2 = x — y — 1 í> ^ = 0 egyenes vonalokat adják.

Cl

Ha ez egyenleteket a paraboláéval combináljuk, tekintetbe véve, hogy ez esetben: y = z, a következő másodfokú egyenletekre jutunk:

z2 + z + — j?— = 0, z2 — z 4- = 0, melyekből a

negyedfoku egyenlet négy gyöke meghatározható.

Pl. z* — bz2 -t- 4z — 3 = 0 egyenletre nézve a föltétel . teljesül ». igy : z2 + z — 3 = 0, z2 — z 1 — 0 egyenletekből az adott negyedfoku egyenlet gyökei:

„ _ — 1 + Ki3 _ 1+ Kí3

z.----------2------> z* “ ~ a

„ _ 1 + i K<3 „ _ 1-i V3

z3-----------------, z, _ 2

A

z előbbiekben nem azt állítottam, hogy csupán ez esetben vannak oly elsőrendű, rationalis coefficiensekkel bíró egyenletek, melyeknek á componens egyenletekkel s igy az adottal közös gyökeik vannak,, csak azt, hogy az említett feltételek teljesülte mellett ez egyenletek könnyen megtalálhatók. Más esetekben, ha ily természetű egyenleteket keresnénk, egy harmadfokú egyenletet kellene elébb megoldanunk, tehát oda jutnánk, a hol kezdettük a dolgot.

Végül, ha a negyedfoku reducált egyenletre e föltétel teljesül: 4c = b3 + (a—l)2, az egyenlet mind a négy gyöke complex, melyek megtalálására e másodfokú egyenletek vezetnek :

„ . . a+bi—1 „ . , a—bi—1

z2 + íz + - - 0, z3 — íz + - - --- =0