Értesítvény a Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáltanoda 1874-75-ik tanévéről

9

Ezen egyenlet r-ve vonatkozólag teljes harmadfokú egyenletminek következtében, az egyenletek elmélete szerint, a három gyökök egyikének valónak kell lennie, melynek előjele az ismeretlentől független tag előjelével ellenkező, tehát tevőleges. A nélkül, hogy a három gyök meghatározásával, t. i. e harmadfokú egyenlet megfejtésével foglalkoznám, egyszerűen azt akarom megmutatni, hogy a íenforgó esetben mind a három gyök való.

Ezen czél elérésére legyen

7) r (r—ß2) (r—y2) — x1 (r— ß2) (r—y2) —

y2 r (r—y2) — z~ r (r—ß2) ~ 9 (r)

Ez egyenletben egymásután r ~ 0; r ~ ß2; r — y2,- r — GO helyettesítve, ád

8) 9 (°) — — ß2 Y2 a?2

9) ? (ß2) = y2 ß2 (y2—ß2)

10) 9 (y2) = — Z2 y2 (y2—ß2)

11) 9 (go ) = 00 3 - QO 2 (ß2 + Y2 + £C2 + y2 + z2) - 00 (ß2 y2 + cc2 ß2 + x2 y2 4- y2 y2 + z2 ß2) — *2 ß2 y2

Minthogy all) egyenlet igenleges értéket képvisel, lehet állítani, hogy:

A négy utolsó egyenletben a szabályos elöjelváltozás azáltul idéztetett elő, hogy r helyett a fentebbi különleges értékeket használtuk.

Eme szabályos elöjelváltozásból következtethető, hogy a 6) egyenletnek három való gyöke van. A határokról, a melyek közt nevezett gyököknek létezniük kell, mondhatjuk:

A gyököknek elseje létezik 9 (0) és 9 (ß2) határok közt; másodika létezik 9 (ß2) és 9 (y2) határok közt; harmadika létezik 9 (y2) és 9 ( GO ) határok közt.

Az egészből világosan kitűnik, miszerint az I rendszerben bármely meghatározott x2, y2, z2 nézve, p,2, p22, p32 mennyiségeket is az elősorolt határok közt egyértéküleg határozhatjuk meg.

III. §. Az x, y. z és p„ p2, p3 mennyiségek szorosabb összefüggése.

A közönséges derékszögű szegvények és a kerülékes szegvények közti megfejtése következő utón történik.

Rövidség okáért legyen:

12) r (r—ß2) (r—y2) 1= F (r)

13) 0— Pl2) 0—P22) 0—P32) = f (r)

Ebből

F (r) -/ (r) = r’ (Pl2 + p22 + p32 - ß2 - y2) + r (P,2 P22 - Pi2 P32 — p22 P32 + ß2 Y2) 4- P2i P22 P32! mely egyenlet r-re nézve teljes másodfuku.

2