Református teológiai akadémia és gimnázium, Pápa, 1926

III. A párhuzamosok axiómájának szerepe a geometriában. Székfoglaló értekezés. Irta Moravecz Károly gimn. tanár

- 28 absolut tér véges nagyságú és pozitív görbületü-e, mint Riemann geometriája kívánja, vagy negativ görbületii végtelen nagy, mint Bolyai geometriája kívánja, vagy 0 görbületü végtelen nagy, mint azt Euklides geometriája megköveteli, erről igazán semmit sem tudhatunk. Azonban hagyjuk a problémának relativitás-elméleti szempontból való vizsgálatát,

1 hiszen mathematikai szempontból csak az a fontos, hogy a Bolyaiféle geometriai rendszer logikailag kifogástalan legyen, hogy benne ellentmondások ne legyenek. E tekintetben a Bolyai-féle geometria teljesen egyenrangú az Euklides-félével. Ki lehet mutatni, hogy a Bolyai-féle geometriában ellentmondásra nem juthatunk. A Bolyai-féle geometria egyes tételei és az Euklides-féle geometria negativ görbületü felületeinek egyes tételei között ugyanis olyan szoros kapcsolat van, hogy ha feltétel eznők, miszerint a Bolyaiféle geometriában ellenmondás léphet fel, ebből azonnal következnék, hogy az Euklides-féle geometria negativ görbületü felületén egy tétel nem helyes, tehát az Euklides-féle geometria sem helyes. Úgyhogy, aki a Bolyai-féle geometria helyességét kétségbe vonja, az tagadja bármilyen geometriai rendszer felépítésének lehetséges voltát. A Bolyai-féle geometriai rendszer megismerésének nagy akadálya, hogy inkább a képzeletet, mint a szemléletet veszi igénybe. Gauss írja Bolyai Farkasnak a már említett levelében: „A legtöbb emberben nincs meg az ehhez szükséges fogékonyság és csak kevés emberrel találkoztam, kik érdeklődtek volna az iránt, amit velük közöltem. Hogy az ember ezt tudhassa, ahhoz szükséges, hogy világosan érezze azt, ami tulajdonképen hiányzik, — pedig ezzel a legtöbb ember nincsen tisztában". Lássuk végül a XI. axióma szerepét a felületi geometriában.

2 E célból egy pár alapfogalommal ismerkedjünk meg. Vezessük be először a térgörbe görbületének a fogalmát. Adott görbe adott A pontjához tartozó görbületi sugár alatt értjük annak a körnek a sugarát, amelyik kör az A pontban legjobban hozzásimul a görbéhez. Ha az A ponton kivül másik két pontot is felveszünk a görbén A hely környezetében, akkor ezen három ponton keresztül egy kört Írhatunk. Ha most a B és C pontokat minden határon túl, folytonosan közelítjük A-hoz, akkor e három ponton átmenő körök sugara fix határérték felé tart s ez a határérték az A-hoz tartozó görbületi sugár. E görbületi sugár reciprok értéke a görbe görbületének mértéke az A pontban. Egy felületnek adott P pontjához tartozó normálisa alatt értjük azt az egyenest, mely a felület P pontjához tartozó érintősikra merőleges. Ezen merőlegesen végtelen sok síkot fektethetünk át, amelyek egy-egy síkgörbében metszik a felületet. Lesz ezek között egy görbe, amelyiknek legnagyobb a P ponthoz tartozó görbülete, lesz egy, amelyiknek a legkisebb. E két görbe P ponthoz tartozó érintőinek irányai a főgörbületi irányok s e két görbe P ponthoz 1 Bőven tárgyalja: Czukor Károly: A relativitás elve. 1921. 2 Forrásmű: Bianchi-Lukat: Differentialgeometrie.