Kegyes tanítórendi katolikus gimnázium, Nagykároly, 1893
VII На Пп-2, Пп-i és a,i oly számtani haladvány három egymásután következő tagja, melynek különbsége d, akkor: Un - Un—i d ) , . n о — л \ tehát ftn— 1 «ln—2 — u. ) a„ — a„_i = an-i — au_a vagyis a számtani haladvány bármely egymásra következő három tagja folytonos számtani aránylatot képez. Ha ezen számtani haladványban: at, aá, a^ .......®u, mely n tagból áll, s melynek különbsége d, az r-edik tagot az elsőtől az utolsó felé számítva ar -el, s ugyancsak az r-cdik tagot az utolsótól az első felé számítva a,i-el jelöljük, akkor ar = a, -j- (r—1) d és a,ij=_ a„ — (r—-1) d összegezve: a«.-j~ ari «=*' a*:-+ a„, tehát a szélső tagoktól egyenlő távolságra eső két-kót tagnak összege a két szélső tag összegével egyenlő. A tagok száma lehet páratlan, vagy páros. Legyen a tagok száma páratlan, tehát n = 2m -j- 1, ekkor egy középső tag van, az amyi az pedig kifejezhető igy: am+i = a! -f- md az n-edik tag pedig: an = a, -)- 2md Szorozzuk meg az első egyenletet 2-vel és vonjuk le belőle a másodikat, lesz: f-1 tlin •-]. --2a, + 2i md au a, 4- 2md am-f-i — an — a,, mely = ai + an vagy am fi 2 azaz: a két külső tagnak összege egyenlő a középső tag kétszeresével, vagy a középső tag annyi, mint a két külső tag összegének fele: Ha a tagok száma páros: n = 2m, ekkor két középső tag van: ani és am -i s ekkor am = a, -f- (in—1) d am+i = a, + md, de m = melyet ha behelyettesítünk nyerjük:
