Református gimnázium, Miskolc, 1903
— 24 -abban áll, hogy úgy az eredeti független változó, mint a függvény egy közös új változónak, a paraméternek függvényeképpen jelentkeznek. Ennél a pontnál a parameter említett fogalma bővül, amennyiben már nemcsak tetszőleges állandót jelent, hanem változót is, mint egymástól függő mennyiségeknek közös független változóját. A paraméternek, mint változónak a geometriában, de főképen a fizikában nyílik fontos szerepe, mert a fizikában egyértelmű az eljárás, hogy a legtöbb függési viszony, az idő-re, mint irreduktibilis változóra vonatkoztassák. Ezekkel az értelmezési módokkal a függvényt zárt formulában kapjuk. Azonban a függési viszonyok általánosságban olyanok, melyeknek tényleges előállítása zárt alakban nem lehetséges ; pl. a sin x függvényszimbolum által definiált függvénynek tetszés szerinti pontossággal megközelített értékét csak úgy kaphatjuk meg, ha az illető függvényt végtelen sor alakjában állítjuk elő. Az ilyen természetű végtelen sort a felsőbb mennyiségtan a függvény analitikai alakjának nevezi. Az í\x) = ' függvény az .v változó minden véges és reális értékénél véges és meghatározott reális értéket vesz fel ; azonban, ha x >iV s iV>u-, hol w-t tetszőleges nagynak választhatjuk, akkor tetszőleges kis értéket képvisel s a mint w hovatovább nagyobbodik. a függvény mindinkább közeledik a zérus leié. Ezt a körülményt, a felsőbb mennyiségtan úgy fejezi ki, hogy v -re nézve a végtelen — és -re vonatkozólag a zérus környezetében vagyunk. És hogy a zérusra való áttérést szimbolikusan, matematikailag használhatóan tüntesse elő, a lim (limes- határ) szimbolumot vezeti be s ezzel a li m '=0 X= 00 X alakot kapjuk. Ebben a példában az ^ alakzat a végtelent és a zérust kapcsolta egybealim jel bevezetésével; deezek nem járnak mindig együtt. U. i. az f(x) — függvény az x változó minden valós, véges 1 — x értékénél véges és meghatározott értéket vesz fel és csak egy helyen lesz első pillanatra érték nélküli, akkor t. i. mikor x j 1 ; ebben az esetben t( 1) — ,j j a z értéket azonban a felsőbb mennyiségtan pontos értelmezése alapján végtelennek, a függvény szinguláris helyének nevezzük. Abban az esetben, mikor x <i, az , - = 1 4- x -j~ x 2 -4 .. 4- in inf. 1 —x egyenlőség baloldala a jobboldalnak, mint a függvény analitikai alakjának, zárt kifejezését tünteti e ő.
