Református gimnázium, Miskolc, 1903

- 21 és különösebbnél különösebb meglepetéseket hoz létre, melyek a matematikai tárgyalás szempontjából új meg új függvények konstruálását teszik szükségessé, kimondható, hogy a függvényeknek tökéletes definíciója és osztályok szerint való teljes elrendezése előre megállapított emberi terv szerint nem végezhető. A középiskolai oktatásban a függvényfogalom határozott karakterisztikus vonással (tudomásom szerint) először a geometriában, a trigonometrikus függvények definíciójánál lép fel. A trigometrikus függvények szükségessége azért merült fel, mivel a háromszög szögei és oldalai egymással szoros kapcsolatban lévén, kell, hogy ezt a kapcsolatot matematikailag is ki tudjuk pontosan fejezni. Amennyiben pedig a háromszög szögei és oldalai nem homogén mennyiségek, az egymásra való utalást, egyikből a másik értékének kiszámítását a trigonometriai függvények közvetítik. A mondottakkal kapcsolatban és fókép felvilágosításképen megemlíthető, hogy a trigonometrikus geometria nemcsak abban különbözik a szerkesztő geometriától, hogy a szerkesztést számítás váltja fel, hanem abban is, hogy a számítás alapjául új fogalmat, a trigonometrikus függvények fogalmát kell megállapítani. Ebben a tekintetben az analitikai geometriánál is hasonló esettel állunk szemben, hol az analízist a koordináták definíciója előzi meg. Ha a derékszögű háromszögben az egyik, a függélyes katétát állandónak tekintjük és a hipotenuza a derékszöget alkotó másik — tetszésszerinti nagyságú katétán mozoghat, akkor természetes, hogy úgy az átfogó, mint a vízszintesnek nevezhető befogó és ami iontos, a derékszögű háromszög két hegyes szöge a szerint nagyobbodik vagy kisebbedik (kisebbedik vagy nagyobbodik), amint az à'fogó távolabb van az állandó helyzetű befogótól, vagy közelebb van hozzá Ennélfogva a szilárdnak tekintett „a" befogónak a „c" átfogóhoz való viszonya a derékszögű háromszög hegyes szögeire nézve jellemző adat, kivéve azon határeseteket, melyeknek vizsgálata a felsőbb mennyiségtan birodalmába tartozik, mikor c=a, vagy amikor az átfogó a vízszintes befogóval parallel, mert ekkor közönseges értelemben vett háromszög egyáltalában nincs. Egyszóval az " viszony, a derékszögű háromszög oldalaiból alkotott arány — mint szám — jellemzi a szög nagyságát, vagyis ezzel meg van adva az a mód, melynek segítségével az oldalak és szögek, mint nem homogén mennyiségek között benső kapcsolatot állíthatunk fel. De ebben a kapcsolatban függési viszony is rejlik. Hiszen az a szög megváltoztatása maga után vonja az a viszony megváltozását is és eme viszony alapján definiált sinus és cosinus függvények méltán nevezhetők (aháromszögekre vonatkozó) trigonometrikus függvényeknek. Megjegyzendő, hogy itta függvény vonatkozás az egyszerű arányosság kifejezéssel egyáltalában nem jellemezhető, mert pl a sinus függvény változási módját ismét egy ilyen transzcendens jellegű függvény karakterizálja. Az a körülmény, hogy a trigonometrikus függvények definíciója elsősorban a derékszögű háromszögre vonatkozik, a geometriának egyik