Református gimnázium, Miskolc, 1903

— iö — a kamattényezőnek ö-ik, vagyis annyiadik hatványával szorozzuk, ahány évről szó van. Most a következő feltevést tesszük: Az n-dik év végén az említett módon felszaporodott tőkét úgy kapjuk, hogy a kezdetbeli tőkét a kamattényező n-edik hatványával sokszorozzuk. S eme feltevés alapján már most a tételt teljes általánosságban úgy bizonyítjuk be, hogy áttérünk az 11 -f- 1 dik esetre és ha az évenkénti szaporodás módjának felhasználásával ki tudjuk mutálni, hogy az /j —j— 1 dik év végén felnövekedett tőkét úgy kapjuk, hogy a kezdetbeli tőkét a kamattényező n -f- 1-dik hatványával szorozzuk, akkor állításunk helyessége általános érvény nyel be van bizonyítva, mert az n = 5 esetben a tapasztalat szerint igaz volt és igaz voltát az n -f- 1 == 5 -f- t = 6 esetre vonatkozólag s. u. t. már bebizonyítottuk. Ha az n-dik év végén felszaporodott tőkét T„-nel, az első év elején betett, eredeti tőkét T vei, a százalékot p vei és az 1 4 kifejezést, q-xal (kamattényező) jelöljük, akkor féltevésünk értelmében T

n = T(l+ ^ )" = Tq" . Ha ezt a tőkét még egy évig kamatoztatjuk, akkor az n 1-ik év végén : felszaporodott tőke = az n-ik év végén lévő tőke -)- ennek egy évi kamatja. Vagyis Tn+1 = T„ + A'(amat). Mivel pedig A" --- T„ . , azért S ezzel állításunk helyessége be van bizonyítva. A teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek ezen a példán való bemutatása egészen világos; de amennyiben ellenvethetni, hogy a kamat fogalma és a kamatos kamatozás emberi megállapítások, melyek idővel lényegesen megváltozhatnak s ennélfogva eme fogalmakra épített indukció nem bír a tudomány abszolút szigorúságával, szükséges, hogy egy második, szintén rövid példát említsünk még fel, mely az esetleges emberi szeszélynek nincs alávetve. Ha ugyanis az x -)- a, alakú és n számú (i — 1, 2, 3,. .., n) tényezőből álló szorzat tagjait vesszük tekintetbe, akkor azt állítjuk, hogy az —I— a

t) (x -j- a

2) . . . (x -f- a„ ), n tényezőből álló szorzat tagjainak száma minden összevonás nélkül 2". Ezt az álltítást mindenekelőtt a tapasztalásnak alávethető néhány esetre vonakozólag igazoljuk. Az x -f- a, egy tényezőből álló szorzat tagjainak száma = 2

1 ; (x-|-a

i)(x^(-a

a)=x

2 --(- a

4 >r-j-a

2x-|-a

1 a

2 tagjainak száma—2

a ; (x -f- a

1 ) (x-j-a

2) (x -f a

3) — x

;

1 -j- a, x-f-a

2 x- -j- a

3 x

2 ^J- a

2 a

3 x -f a

:

! a, x -f4" ai a

2 X' -| aj a

2 a, három tényezőből álló szorzat tagjainak száma = 2

3. Ez a három eset tételünket tapasztalatilag igazolja. Most feltételezzük, hogy a letel r számú esetre igaz (ez a feltevés jogos, mert