A Magyar Hidrológiai Társaság XVI. Országos Vándorgyűlése I. kötet (Kecskemét, 1998. július 8-9.)

VÍZGAZDÁLKODÁS - dr. Bakucz Péter: A fraktál hidrodinamikai diszperzió meghatározása ellenállás-analógia alapján

Ebben a fejezetben a modellezés szabálytalan csomópont-él hálózaton történik. A pórushálózat szabályos csőköteg analógia segítségével való modellezésekor Kovács Györgynek a legnagyobb problémát a szabályos hálózaton kialakuló transzport modellezésekor fellépő numerikus feladat jelentette (Kovács 1984). Szabálytalan csomópont-él hálózaton vélhetően jóval nagyobb a megoldás numerikus igénye, ezért újszerű megoldási technika bevezetése válik szükségessé. Nevezetesen a probléma megfogása úgy lehetséges, hogy a sztochasztikusan változó mikroszkopikus állapotteret leképezem számítástechnikailag kezelhető hálózatra, ahol a mozgás törvényszerűségeit leíró egyenletek megoldhatók. A hálózat hidrodinamikai modellezése alapján, a transzportfolyamat vizsgálata során a jelzőanyag mozgását makroszkopikus szinten az advektív diffuzív differenciálegyenlet determinálja. A rendszert a perkolációs küszöbnél tekintve belátható, hogy a folyadékrészecskék áramlása bizonyos paraméterek értékében nem okoz változásokat, azaz univerzális. Ez teszi lehetővé, hogy a mozgást egyszerű törvények un. skálakifejezések segítségével lehessen megfogni. Ezen skálatulajdonságok először a Nobel-díjas deGennes dolgozatában jelentek meg a hidrodinamikai diszperzió modellezésére (deGennes 1983). Jelen fejezeteben a hálózat leképezése során az elektromosságtan elveinek alkalmazása a hálózat hidraulikai ellenállásának, és a hálózat okozta geometriai diszperziónak figyelembevétele által, az un. effektív közeg elmélet felhasználásával realizálódik. A perkolációelméletben az elektromos vezetési jelenségeket olyan modellel értelmezik amelyben az egyes élek mentén egy előre rögzített eloszlás szerint különböző értékű valós vagy komplex ellenállásokat helyeznek el, és keresik a hálózat eredő fajlagos vezetését (a). A fajlagos vezetés eloszlássűrűségének egyik változata szerint a: P (<r) = p<5 ((T - <7

0) + (1 -p)6(a-a

x) (1) ahol a ff! < valamint S a Dirac függvény (deArcangelis et al. 1988). Abban az esetben amikor p alulról tart a kritikus p

c-hez a hálózat eredő fajlagos vezetésében szinguláris viselkedést lehet tapasztalni. A valószínűségekben értelmezett átmenetet három exponens írja le a kritikus valószínűség körül. Az exponensek között a termodinamikai fázisátalakulásokkal való analógián alapuló skálaösszefüggés áll fenn. A fejezetben alapvető cél az elméleti eredményeket összevetni a laboratóriumiakkal. Miután a valós laboratóriumi történés közelítése zajlik az elméleti módszerrel, ezért szükséges olyan állapotot választani, ahol a legkevesebb fizikai paraméter határozza meg a hidrodinamikai transzportot. Ez az állapot a perkolációs valószínűségnél tekintett áramlás. Ezért a hidrodinamikai modellezés ilyen állapotban zajlik. A véletlen ellenálláshálózatok elméletében az effektív közeg feltétel segítségével lehet a kritikus valószínűséget (p

c) meghatározni. Adott egy tartomány az anyagban amelyben az áramsűrűség, az elektromos tér és a fajlagos elektromos vezetés lokális értékét veszi fel. Ezen a tartományon kívül az anyagot egy homogén effektív közeggel helyettesítem, melynek fajlagos vezetése <r

e és ahol az áramsűrűség, valamint az elektromos tér mindenütt megegyezik az inhomogén makroszkopikus rendszer megfelelő paramétereinek átlagos ér6