Hidrológiai Közlöny, 2022 (102. évfolyam)

2022 / 2. szám

44

kritérium alapján, ahol n az összes adat száma, melyet K darab klaszterbe csoportosítunk. Az x(i) jelöli az i. adat értékét, L(i) jelöli azt a klasztert, amelyhez az i. adat tartozik, míg B[L(i)] az L(i) klaszter értékeinek számtani közepe. így a felírt kritérium az n darab adat K számú klaszterbe sorolásának teljes négyzetes hibáját adja meg. A kritérium alapján az a partíció a legjobb, amely minimalizálja a teljes négyzetes hibát.

A kategóriákat szubjektív módon is megalkothatjuk, de vigyázni kell, hogy minden kategóriába elegendő számú adat essen, különben hibás és félrevezető számítások adódhatnak.

minden t* < t2 < ...< tn < t esetén. Markov-láncnak nevezzük a véges vagy megszámlálható (más szóval diszk-A KÉTVÁLTOZÓS MARKOV-LÁNC

Mindenekelőtt röviden összefoglaljuk a Markov-láncokkal kapcsolatos alapvető fogalmakat.

A Markov-folyamat olyan sztochasztikus folyamat, melyet az a tulajdonság jellemez, hogy a folyamat jövőbeli viselkedése alakulásának valószínűsége, ha a pillanatnyi állapot teljesen ismert, nem változik azáltal, hogy többet tudunk meg a múltbeli viselkedéséről (Karlin-Taylor 1985). Matematikai formában felírva Markov-folyamatot adunk meg, ha

(1)

rét) állapotterű Markov-folyamatokat. Az (1) alapján felírható tehát a diszkrét-idejű Markov-lánc definíciója:

(2)

Hidrológiai Közlöny 2022. 102. évf. 2. szám

P{Xt = i\X, = ivX2 = i2.....Xt.t = it_r) = P{Xt = i|Xt_! = it—i.}P{a <Xt< b\Xti = xltXt2 = x2,...,Xtn = xn} = P{a <Xt< b\Xtn = xn}

Azt mondjuk, hogy a folyamat a t időpontban az i állapotban van, ha Xt = i. A (2) egyenlet jobb oldalát egylépéses átmenet-valószínűségnek nevezzük és Pi;-ve 1 jelöljük. Megjegyezzük, hogy itt homogén Markov-láncot tételezünk fel, azaz az egylépéses átmenet-valószínüségek függetlenek az időtől.

A ff számok mátrix formájában is elrendezhetők (Feller 1951). A P= (ff) mátrixot a folyamat átmenet-valószínűség mátrixának nevezzük. A P minden egyes ff

eleme annak a valószínűségét jelenti, hogy az állapotok értéke az i-bőlf-be megy át egy lépésben. Egy lépés egy időegységnek tekinthető. A ff mennyiségek nemnegatív számok, sorösszegük egységnyi, mert valamely esemény soronként biztosan bekövetkezik. A főátlóban szereplő értékek a helyben maradás valószínűségét adják meg és a mátrix egy sora eloszlást fejez ki.

A Markov-láncokkal kapcsolatban célunk mindig a hosszútávú viselkedésük vizsgálata. Ez tulajdonképpen a

Pn vizsgálatát jelenti nagy «-ek esetén. Az egylépéses átmenet-valószínűségi mátrixot addig hatványozzuk, amíg az oszlopainak elemei állandósulnak, azaz

rp°

Pi-Pn

Po

Pi-Pn-Po

Pi-Pn-A P* mátrixot határmátrix nak nevezzük, a P0,Pi, —,Pn valószínűségek azt fejezik ki, hogy mekkora valószínűséggel találjuk a rendszert hosszú állapotváltozások sorozata után az egyes 0, 1, .... n állapotokban (Kontur és társai 1993). A (P0,PÍ,... ,Pn) eloszlást invariáns (egyensúlyi) eloszlásnak nevezzük.

Ha a Markov-láncban két idősor adatait (esetünkben a vízhozam {Xt} és a csapadék {Vf}) is figyelembe vesszük, akkor aZt = (Xt,Xt_1, Yt_T) állapot változókkal egy kétváltozós láncot kapunk, melyre a Markov-tulajdonság alapján felírhatjuk a

p{%t — — h,x2 — i2,...,xt_1 — it-i, vj —fi,—ft-ií — P{%t — i-l^t-!• Yt-r — Ít-T}

egyenletet. Áfa késleltetési időegységet jelöli a vízhozam és a csapadék adatok között. A lehulló csapadék mennyisége bizonyos idő eltelte után érezteti hatását a vízhozam adatsoron. A késleltetési idő kiszámítására statisztikai képlet is rendelkezésre áll a csapadék és vízhozam adatsor alapján (Yapo 1993):

T = min (t: > ^). (3)

A fenti egyenlet tehát megadja azt a minimális pozitív késleltetést, amelynél a csapadék és a vízhozam értékek közötti keresztkorreláció szignifikáns 100(1-/?)% szinten. Az u1_p értéke a standard normális eloszlás táblázatából visszakereshető a <f>-1 (l — alapján. A (3) formulában (jx és Oy a két adatsor szórását, n az adatok számát jelöli.

MARKOV-LÁNCOK A HIDROLÓGIÁBAN

Az 1960-as évektől több külföldi kutató is modellezte Markov-láncokkal a különböző időszakok csapadékos és csapadékmentes napjainak egymás után következő folyamatát (Gabriel és Neumann 1962, Haan és társai 1976,

Chin 1977). Az átmenet-valószínűségi mátrix segítségével következtetéseket vontak le arról, hogy ez a fizikai rendszer milyen valószínűséggel található csapadékos, illetve csapadékmentes állapotban. Az utóbbi években különböző területek éves csapadékösszegeit is vizsgálták Markovláncokkal, amely témából több publikáció is született (Selvi és Selvaraj 2011, Yusuf és társai 2014, Fekete és Keve 2020).

Igen elterjedt a Markov-láncok használata tározók méretének számításához. A méretezési eljárás során különböző tározóméret és vízkivétel esetén azt számítják, hogy az ismertnek tekintett eloszlású hozzáfolyás alapján mekkora valószínűséggel kerül a tározó különféle telítettségi állapotokba és mekkora lesz a kiürülés valószínűsége (Kontúr és társai 1993).

A Markov-láncokat már korábban is alkalmazták vízhozamok rövid, közép és hosszú távú előrejelzésére (Jackson 1974, Yakowitz 1985), valamint cikkünk témája is ehhez kapcsolódik.