Hidrológiai Közlöny, 2018 (98. évfolyam)

2018 / 1. szám - SZAKCIKKEK - Liptay Zoltán Árpád: Jégmegjelenés előrejelzése a súlyozott középhőmérsékletek elve alapján a Duna hazai szakaszára

27

Liptay Zoltán Árpád: Jégmegjelenés előrejelzése a súlyozott középhőmérsékletek elve alapján a Duna hazai szakaszára

Az így kapott egyenletben (8) a változók az idő folytonos függvényei, ezért a gyakorlati alkalmazáshoz az ösz- szefüggést diszkretizálni szükséges. Ehhez a to és t„ között eltelt időt n egyenlő részre osztjuk, melyek hossza At=tn- t„-i, így a Tv léghőmérséklet és a rv vízfelszín hőmérséklet az adott U-i és U lépésköz átlagos hőmérséklete. Ezek alapján a (8) sz. egyenlet z„ -re rendezve és diszkrét alakra

hozva:

zn = T0e~k(£n_£o) + (1 - e-feAt)£"=i Tve~k^-^

(9)

Az alábbi behelyettesítéssel élve:

rí e~kAt) - í-e-fchn-to)

^ ' i+e-k(£n-t7i-i)...+e-k(tn-ti)

(10)

Tn = T0e-k(tn-to) + (l — e_k(tn~to))<pn

(11)

ahol

E?=1 Tye-Wn-tv) <Pn ~ ££=1e-k(£n-t.P

(12)

A cpn függvény értéke (12) tehát a léghőmérsékletek súlyozott átlaga a to és t„ időpontok között. Tehát minél régebbi egy hőmérséklet adat, annál kisebb súllyal kerül a számításba.

Ha tn — t0 — k~1 , akkor e~k(-tn~to'> = 37% t„ — t0 — 2 fc-1 e-kítn-to-) = ±4%

tn~ t0 = 3fc_1 e~k(tn-to) = 50/0

tn-t0 = 4 AT1 e-k(tn-to) = 2%

Amennyiben a rotag kitevőjében látható (t„-to) időtartam kellő hosszúságú, úgy a kitevőben negatív előjellel szereplő nagy szám miatt az e_kl£n_£°) egy nagyon kis szám lesz, így a kezdeti feltételként megadott z0 hőmérséklet elhanyagolható. Ezzel egyidőben az (l — g-k(trl-to)) összefüggés egyhez közelít, ezért a z„ azonos lesz a <pn értékkel. A z„ Rodhe levezetésében innentől nem a vízfelszín hőmérséklete, hanem a jég megjelenéséhez kapcsolódó hőmérsékleti függvény, az elmélet alapjául szolgáló energiamérleg egyszerűsített differenciálegyenletének egy partikuláris megoldása.

Ha az n időlépés helyett csak egy időlépést veszünk n- 1 és n között, akkor a (9) sz. egyenletet az alábbi alakban írhatjuk fel:

Tn = Tn-le~kAt + (1 - e~kAt)Tn

(13)

vagy

Tn = Hi-1 + (1 - e~kAt)(Tn - Tn_a)

(14)

Ezek után iteratív módon bármely z„ érték meghatározható egy zo kezdeti feltétel ismeretében. A fentebb említettek szerint a kezdeti feltétel hatása (t„-to) idővel később e-k(£n-to) értékkel csökken.

A fentieket összegezve Rodhe súlyozott középhőmérsékletek elve azon alapszik, hogy a z függvény, vagy diszkrét esetben a r sor, a k1 értéknek megfelelő intenzitással követi a léghőmérséklet alakulását. Ez alapján feltételezzük, hogy van egy olyan k1 érték és hozzá tartozó r sor, amely a jég megjelenésének pillanatában lép át egy rögzített r értéket, például a 0°C-ot. Ha a jégmegjelenés

pontos időpontjának ismeretében az alapegyenletünkben szereplő k1 tényezőt, melynek értékét állandónak feltételeztük, egy z változóra cseréljük, akkor a differenciálegyenletünk az alábbi formában írható fel:

dz = — dt + —dz = 0

dt dz

(15)

Mivel a jégmegjelenés időpontjában hogy dz = 0, és z = 0.

azt feltételezzük,

Az alapegyenletünket (4) ezúttal z-vel felírva:

ŐT T—T dt z

(16)

Feltételezzük, hogy a r függvény z szerinti parciális deriváltja az alábbi formában felírható:

ŐT T-G

dz Z

(17)

Ahol a egy t és z változójú függvény, és úgy viszonyul z- hoz, mint z 7-hez, valamint az alábbi azonosság is teljesül, akkor:

Ő /ŐT\ _ Ő /ŐT\

dt \dz) dz \őt/

(18)

őt do T-o dz dt z

(19)

A teljes derivált így az alábbi formában írható fel:

dz = — dt — dz = 0

Z Z

(20)

vagy

(dz\ _ T-t

\dtJ T=const.

(21)

Amennyiben r = 0°C, akkor

(-) =-1

\dt/T=o. a

(22)

Lineáris változás esetén tehát r kl nap lemaradással követi T-t, és a ugyanígy követi r-t. Az alapegyenletünk diszkrét alakjába (9) az alábbi módon bevezetjük a z változót:

rn = T0e_fc(tr!_£o) + (1 e~kAt) £"=i Tve~k^tn~tv)

(23)

,1 , -éí k = - ,es e z = x

Z

(24)

IS=i Tvxn~v = 0

(25)

Amennyiben a kezdeti feltételtől kellő távolságban vagyunk, és az e~k('tn~t°) közelít zérushoz, valamint az (l — közelít egyhez. Látható, hogy az analitikus megoldás összetett, nem lehet z-re rendezni az összefüggéseket, ezért Rodhe (1952) is az iteratív megközelítést javasolja. 5-10 napos z lépcsővel felrajzoljuk a r sorokat, és ajég megjelenésének pillanatára interpoláljuk a 0°C-ot két ahhoz legközelebbi pontban metsző sor z értékeit.

A fentiekből egyértelműen következik, hogy ha a T léghőmérséklet idősort előrejelzett adatokkal bővítjük, akkor z ismeretében a helyes r sor is egy előrejelzést fog adni. Ezáltal prognosztizálni tudjuk a jég megjelenésének időpontját.