Hidrológiai Közlöny, 2018 (98. évfolyam)
2018 / 3. szám - SZAKCIKKEK - Tóth Balázs: Sekélyvizű tavak szélkeltette áramlásának modellezése hálómentes módszerrel
64 Hidrológiai Közlöny 2018. 98. évf. 3. sz. 2006). A víztestek nagy tehetetlensége miatt a tavak méretével azonos léptékű áramlási struktúrák kialakulásához tartósan fennálló szélnyírófeszültség szükséges, ezért a szél irányát és nagyságát gyakran állandónak feltételezzük. A vízmérnöki gyakorlatban kiemelten fontos szerepet töltenek be a numerikus számításokon alapuló térben osztott paraméterű permanens és időfüggő tavi, illetve folyami jelenségeket leíró modellek. A számítógépes kapacitás növekedésével és a numerikus módszerek fejlődésével egyidőben a számítások komplexitása, térbeli felbontása és pontosságának folyamatos növekedése figyelhető meg. A sekélyvízi modellek numerikus megoldásának széles körben elterjedt eszközei a hálóalapú véges differencia (FDM - finite difference method), véges térfogat (FVM - finite volume method) és végeselem módszerek (FÉM - finite element method). Ezen konvencionális, hálóalapú módszerek a számítási tartomány numerikus cellákra történő felosztásával a leíró egyenletek diszkretizációjával, algebrai egyenletek megoldásával közelítik a valós áramlási folyamatokat. Jelentős hátrányuk azonban, hogy a számítási háló generálása nehezen, sokszor egyáltalán nem automatizálható, ezért a megfelelő minőségű számítási rácsháló elkészítésének időigénye sok esetben meghaladja a tényleges számítási időt. Jelen munka célja a tavi hidraulikában jelenleg kevéssé ismert, újszerűnek számító részecskealapú és hálómentes simított részecskedinamikai módszer bemutatása és alkalmazása egyszerű mederalakkal rendelkező sekélyvízi tavak szélkeltette áramlásának vizsgálatára. A SIMÍTOTT RÉSZECSKEDINAMIKA MÓDSZER Az SPF1 módszert először 1977-ben publikálta R.A. Gingoid és J.J. Monaghan (Gingold és Monaghan 1977), valamint tőlük függetlenül L.B. Lucy {Lucy 1977). Kezdetben asztrofizikai területen alkalmazták peremfeltételek nélküli, nagy skálájú öngravitáló gázok, csillagok és galaxisok kialakulásának modellezésére. Ezt követően, az 1990-es évek közepén jelentek meg az első alkalmazások folyadékok áramlásának modellezésére {Monaghan 1994), melyek megalapozták a módszer térhódítását áramlástani területeken is. Ilyen területek a komplex szabadfelszínü áramlások, például partközeli hullámtörés, többfázisú áramlások, vagy kapcsolt multifizikai számítások. A hagyományos, hálóalapú módszerekhez viszonyított nagy számítási igénye miatt azonban csak a 2000-es évek második felében, a párhuzamos számításokat támogató eszközök elterjedésével vált szélesebb körben is ismertté, alkalmazottá {Hérault és társai 2010 és Crespo és társai 2015). Jelenleg a klasszikus SPH módszert, és annak folyamatosan fejlődő számos specializált változatát töretlenül növekvő figyelem kíséri mind gépészmérnöki, mind vízmérnöki alkalmazások területén. A módszer alapját képező általánosított interpoláció (konvolúció) az alábbi alakban írható fel: A{r) = J A(r')S(r — r') dr', 0) n ahol A{r) egy tetszőleges r helytől függő függvény, 5(r — r') az e -» 0 sugarú Dirac-delta függvény, í! pedig az r körüli, e -» 0 sugarú véges tartomány. Az (1) kontinuum azonosság egyrészt a 8{r — r') függvény, másrészt az analitikus integrálszámítás miatt numerikusán nem alkalmazható. Ezt a két problémát a S(r — r') függvény helyettesítésével, valamint a kontinuum értelmezési tartomány diszkretizálásával oldhatjuk fel. A <5(r — r') függvény helyettesítésére egy arra alkalmas véges hatósugarú cp(r — r', h) simító függvényt szokás használni, ahol h a függvény hatósugarával arányos paraméter. A cf>(r — r' ,h) függvény tulajdonságait J.J. Monaghan munkája foglalja össze {Monaghan 2005), terjedelme miatt itt nem részletezzük. A gyakorlatban széles körben elterjedt simítófüggvény az ötödfokú Wendland-polinom: '■= «2 (l -|) (29-1), (2) ahol a2 = 7/(Anh2) a függvény normalizálásához szükséges konstans, valamint q = r/h. A függvény hatósugara a (2) alaknak megfelelően 2q. A simítófüggvénnyel felírt konvolúció pedig A{r) « j A{r')cp{r — r', h) dr', (3) n ami jelen formájában már csak egy közelítő összefüggés, hiszen ebben az esetben az A(r) függvény simítását végezzük el egy véges szélességű kompakt tartójú aluláteresztő cf>{7— r‘, h) szűrővel. Végül, a kontinuum értelmezési tartomány diszkrét anyagi pontokra történő leképezésével előállítható a diszkrét konvolúció: (Ai) = '^Aj4>ijVj, (4) J ahol a jobb oldalon az i-edik pont környezetében elhelyezett y-edik anyagi pontokhoz tartozó Aj = A(rj) értékek 4>ij = <j)(rj - Tj, /i)-vel súlyozott összege szerepel. A Vj — vtij/pj a pontokhoz (részecskékhez) rendelt véges elemi térfogat, m; és p; = 1000 kg/m3 rendre ay-edik részecskéhez rendelt tömeget és térfogatot jelölik. Az A függvény részecskéken értelmezett deriváltjainak számítására a levezetés részleteinek elhagyásával az alábbi diszkrét differenciál-operátorokat használhatjuk (Monaghan 2005. Violeau 2012): (div^^^Áj-Ai^Vfrj, (5) j 1 (grad(A)i) = p* Y (-£ +-£] (6) \Pi Pj J (A(A)i) =^2(A;-7li)I 1 U A, I2 P, (7) A (5-7) operátorokat felhasználva a kívánt differenciálegyenlet kontinuum deriváltjai lecserélhetők diszkrét, algebrai kifejezésekre, és a megoldandó parciális differenciálegyenletből N darab közönséges differenciálegyenlet áll
