Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)

1. szám - Bardóczy Lajos: Hozzászólás Patay I.–Montvajszki M. „Belvíztestek matematikai modellezése” c., a Hidrológiai Közlöny 2011. évi 1. számában közölt cikkéhez

48 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2012. 92. ÉVF. 1. SZ. Hozzászólás Patay I. — Montvajszki M.: „Belvíztestek matematikai modellezése" c., a Hidrológiai Közlöny 2011. évi 1. számában közölt cikkéhez Bardóczy Lajos 1055. Budapest, Szalay u. 3. Az idézett cikk az egyik fajta belvízi elárasztási kép matematikai modellezését közli, célja a számítógépi eljárással történő megoldás elérése. Az eljárásban a szerzők az elárasztási képen megjelenő foltot (jól definiált lehatárolással) egy kisebb és egy nagyobb sugarú kör közé telepítve közelítik. A felvetés ellenére felhívjuk a figyelmet arra, hogy bár jelentős dolog a matematikai eljárás, de a grafikus eszközökkel végzendő számítási eljárások nem minden esetben hanyagolhatóak el. Jelen esetben is a közölt számítás első lépésének számbavételekor tapasztalható volt, hogy a területszámítás nem tesz eleget a grafikus eredménynek. Valószínűleg valami sajtó, vagy egyéb ok miatt felül kell majd vizsgálni a közölt anyagot, és azt módosítani kell. A szóban forgó dolgozat trigonometrikus eszközöket vett igénybe a számításokhoz, és azok minden valószínűség szerint jól működhetnek. A magunk részéről radiális szögarányú körfüggvényt állítottunk fel, és annak segítségével a kapott eredmények a grafikus eljárással is igazolhatóak voltak. Az alábbi ábránkon a felállított koordináta rendszer első negyedében ábrázoltuk, mind a szerzők által felvett trigonometrikus függvényt, mind a magunk által felállított radián szögarányos körfüggvényt, ami tanúsítja a két párhuzamos felvétel használható voltát, hiszen az általunk felvett függvény számítási eredménye igazolható lett. Az alábbiakban a két számítási eljárás kezdő függvényeit mutatjuk be: A trigonometrikus sugaras körfiiggvény: R

t

t = r + ( R - r) sin a A felvett radiál-szöges arányú sugaras arányú körfiiggvény: Rrad = r + (R-r)a

ra

d: TI/2 Az általunk felvett alakzat Felületének kiadódott képlete: F

ra

d = 0,26(R

2+r

2 + R.r) Ezeket a függvényeket az első koordináta negyedben ábrázoltuk, és látható, hogy a függvények milyen szépen jelennek meg a körítő nagyobb „R" sugarú körben: r+(R-r)*sina r+(R-r)*arad/J A hivatkozott körfüggvények ábrázolása: A trigonometrikus összefüggést a továbbiakban nem vizsgáltuk, csak a radiális összefüggésből levezethető értékeket tettük számításaink tárgyává, így azt kerestük továbbá, hogy a felállított függvény kidolgozásához felvett R és r sugarú körök által irányított függvény alapján elfoglalt terület hány százalékát veszt igénybe az R sugarú kör területének. Eredményeinket az R/r függvényében vizsgáltuk, és azt tapasztaltuk, hogy az arányszám nagyobbodásával a területi arány fokozatoson csökkenő tendenciát mutatott. Eredményeink jól szemlélhetőek a 2. ábrán. <F-^/F.)»100 ahol F«=R

e * ji/4 Fr^=0,26<R*+r

í+R*r> 0,26.11/12 R/r 1 2. ábra A fentiekben foglaltaknak megfelelően, a továbbiakban vizsgálat tárgyává tettük a területi arányt megjelenítő függvény által leszűrhető tapasztalatokat. A már említetteknek megfelelően az R sugarú körön belül a radiál szög-arányos függvény által elfoglalt terület számításának képlete az alábbi: F

ra

d = 0,26.(R

2 + r

2 + R.r) A felületi arányokat kifejező függvény: F

rad/F

R = 0,26.(R

2 +r

2+R.r):R

2TI/4 = 0,33.(1 + r

2/R

2+ r/R) Az így kiadódott függvényből azt lehetett megállapítani, hogy r = R esetén az elfoglalt terület 100 %, vagyis a teljes R sugarú körhöz tartozó terület. A növekvő R értékeknél a számított területi arány fokozatosan csökken (lásd fenti ábrát) és aszimptotikusan tart a 0,33-hoz, vagyis a végtelenben, ill r =0 esetében az érték 33 %-ban állapodik meg. Ennek természetesen csak elméleti jelentősége van, de jól bizonyítja a felállított függvények megfelelő voltát. Ez hasonlóképen bizonyítható lesz minden valószínűség szerint a trigonometrikus összefüggéseknél is. Ezeknek megfelelően elmondhatjuk azt is, hogy elegendő a negyed R sugarú körön belül képezni a r / R arányt, és leolvasni a hozzá tartozó százalékértéket, ami azt jelenti, hogy elegendő kiszámítani az R sugarú negyed-kör területét, amelyből azután közvetlenül képezhető a szóban forgó függvény-görbe által elfoglalt terület a nagy körön belül. BARDÓCZY LAJOS dr., arany-okleveles vízépítő mérnök, vízgazdálkodási szakértő, vízi létesítményi vezető tervező.