Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
4. szám - Szigyártó Zoltán: A keverék-eloszlású évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásának számtása
^SZIGYARTÓ^Z^^jtevercl^clos^ 53 Ami a (3) összefüggést illeti, ezzel kapcsolatban a következőket kell megemlíteni: - Az egyenlet jobb oldalán a gyökjel alatti az első tag pontosan a normális eloszlásból vett n elemű minta középértékének, az empirikus középértéknek a szórásnégyzetével azonos (Rényi 1954, 349 o.). - Az egyenlet jobb oldalán a gyökjel alatti második tag 2 (X a -tel beszorozva és az l//i-nél magasabb rendű tagokat elhanyagolva) a normális eloszlásból vett n elemű mintából számított korrigált empirikus szórás szórásnégyzetére vonatkozó közelítő érték (Szentmártony 1950, 71. o.). - A gyakorlati számításoknál, mivel a C értéket nem ismerjük, helyette (mint már erről szó volt) az n elemű mintából számított <7*(<^) korrigált empirikus szórással célszerű számolnunk. Ami a végül a (4) és (5) összefüggést illeti, ennek alkalmazását, vagyis a c p szorzó használatát az teszi lehetővé, hogy normális eloszlásból vett minta esetében - az empirikus középérték eloszlása szabatosan (Rényi 1954, 350 o.), a korrigált empirikus szórás pedig aszimptotikusan normális eloszlású (Szentmártony 1950, 71. o.); - az empirikus középérték és a korrigált empirikus szórás egymástól független valószínűségi változó (Rényi 1954, 354 o.); - így összegük ugyancsak normális eloszlású, s szórásnégyzetük a két szórásnégyzet összegével azonos (Rényi 1954, 225 o.). Következésképen a mintából számított fiiggetlen változó érték hibájának az eloszlása (a korrigált empirikus szórás eloszlásának a közelítő jellege miatt) annál megbízhatóbban közelíthető normális eloszlással, minél nagyobb a minta elemszáma. A hibaszámítás általános megoldása Az előzőek szerint abban az esetben, ha egy normális eloszlásokból álló keverék-eloszlás esetében az n, elemű mintaszakasz s,{x) szórását magának az i-ik mintaszakasznak az elemeiből számítjuk ki, úgy az eloszlásfüggvény adott F,(x) függvényértéke alapján meghatározott x s független változó értéket terhelő x s véletlenjellegü hiba szórása (a (3) összefüggés szerinti jelölési rendszerhez igazodva) (6 ) 2(^-1) amely összefüggésben az x m (az i'-ik mintaszakaszhoz tartozó x a érték) számítható a x,- M ,. (7 ) összefüggésből (Szentmártony 1950, 56. o.); mely összefüggésekben (a már korábban bevezetett jelölések szerint): íj(x s) az i-edik mintaszakasz számított független változó értékének a szórása, n, az f'-edik mintaszakasz elemszáma, x sa számított független változó érték, A/, az /-edik mintaszakasz középértéke (közelítésként azonosítva a mintaszakasz empirikus középértékével) és s,(x) az /-edik mintaszakasz szórása (közelítésként azonosítva a mintaszakasz korrigált empirikus szórásával). Emellett pedig a hiba p %-os kockázatú intervalluma is becsülhető a (4) képleten alapuló = (8) összefüggéssel. Ha már most az egyes mintaszakaszokra kapott (6) öszszefüggésre támaszkodva kívánjuk meghatározni a szóban forgó keverék-eloszlás mintájából számított fiiggetlenváltozó véletlenjellegü hibájának a szórását, akkor a következőkre támaszkodhatunk: Akármilyen közelítő eljárással határozzuk is meg a keverék-eloszlás adott függőváltozó értékének megfelelő x s független-változó értéket, ennek kiszámítása során minden esetben, mindegyik mintaszakasz eloszlás-függvényébe ugyanazt az x független-változó értéket kell behelyettesítsük. Ami azt jelenti, hogy ha a függő változó adott F(x) értékéhez tartozó x független változó érték valamilyen kockázati szintű konfidencia intervallumát keressük, akkor ennek meghatározása során - a matematikai statisztikában alkalmazott eljárást követve - úgy járunk el, mintha az egyes mintaszakaszokhoz tartozó x s i véletlenjellegü hibák mindegyike ugyanazon x 5, mint középérték körül ingadozna (Rényi 1954, 358 o.). Ebből pedig az következik, hogy keverék-eloszlások esetében a függő változó értékéből számított x s független változó értékéket terhelő x s véletlen jellegű hiba C k szórását az egyes mintaszakaszokra a (6) összefüggés szerinti kapott Sj(x s) szórásokból az azonos középértékű eloszlásokra érvényes I i=m = ProfG) (9 ) összefüggéssel számíthatjuk ki (Rényi 1954, 330 o.). Mindezt figyelembe véve juthatunk végre arra a következtetésre is, hogy a véletlen jellegű hiba p %-os kockázatú intervalluma a már említett (4) összefüggésnek megfelelő I k&,p) = c p-c k(& (10) képlettel becsülhető. Megjegyezve végül azt, hogy (amiként azt a (3) összefüggéssel kapcsolatban hangsúlyoztuk: amiatt, hogy a minta korrigált empirikus szórásának az eloszlása csak aszimptotikusan normális eloszlású) az utóbbi két képlet nyilván annál magbízhatóbb eredményt ad, minél nagyobb a mintaszakaszok elemszáma. Vagy másképpen fogalmazva, ezek az öszszefiiggések kis elemszámú mintaszakaszok esetén csupán tájékoztatójellegű eredményekre vezethetnek. Hibaszámítás az évi legnagyobb jégmentes vízállások esetében Az évi legnagyobb jégmenetes vízállások esete — mint már arról szó volt — az előzőekben összefoglalt alapesettől abban különbözik, hogy minden mintaszakasznak gyakorlatilag ugyanakkora s 0 a szórása, melyet (a CJ (* n korrigált empirikus szórással közelítve) a teljes n elemű minta összes adatának figyelembe vételével számítunk ki. Ennek következtében pedig az előzőekben bemutatott összefüggések a következők szerint alakulnak: J-HrV (U ) továbbá az előzőekkel megegyezően 'tiffin •<>?(£.)' (9 )
