Hidrológiai Közlöny 2000 (80. évfolyam)

4. szám - Péntek Kálmán–Veress Márton–Szunyogh Gábor: Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel

PÉNTEK K - VERESS M - SZUNYOGH G.: Karsztos formák matematikai leirasa 199 redetiből térfogattartó transzformációval származtattuk. A térfogat ismeretében lehetőségünk lesz megbecsülni, hogy a karsztos oldás során mennyi mészkő oldódott ki, amíg a jelenlegi karsztos mélyedés kialakult. Vizsgálandó töbrünk t(x) terül etfiigg vény ét a (2) öszszefüggés írja le, ekkor az alakzat V térfogatát a 2 1 InM L dx (9) V = \t(x)dx = p\ ( 0 0 képlettel határozhatjuk meg. Az integrálást helyettesítéssel végezhetjük el Mivel M < 0, így legyen m = - M, s alkalmazzuk a következő helyettesítést. Ha c 1 . (10) £ = In— , akkor m L (11) x= L-és dx = -ml • e'^d^ . Ezzel a helyettesítéssel a (9) összefüggés a (12) 0 .2 oo 2 Tcft* -e-"

6 •(-mL)d$ = m L--e'^dt, 00 0 alakot ölti. Alkalmazzunk ezután egy újabb helyettesítést, s legyen (13) 7] = m-% , ekkor (14) 4 = —V é

s = —

d

r\ m m A (12) formula ezzel a helyettesítéssel az (15) 2 m L-n\ 1 L 71 m - i m' formában írható fel. Az így nyert integrál meghatározásához vegyük észre, hogy ha asK*, akkor a 00 (16) F(a) = je-'t

aldt o Euler-féle integrál felhasználásával értelmezhetjük az 00 (17) a!:= fl(a) = r(a + 1) = Je~'í

adt általánosított faktoriális függvényt. Ennek segítségével '"•^"(IMi) • (18) aj flj' 0 Tekintsük ezért az R

3 3-dimenziós valós euklideszi teret, s rögzítsük egy Descartes-féle koordináta-rendszerét, amelynek 3, páronként egymásra merőleges tengelyére méijük fel rendre a vizsgált terület töbreinek L, M és K paramétereit. Ezzel az eljárással a szóbanforgó karsztos terület m számú töbrét egyértelműen jellemző (2) alakú (20) t/x) = p (0 < x <L,, 1 < i < m) e~

ndr\ így a (15) összefüggésben szereplő integrál, s a karsztos mélyedés térfogata: m

k (-M)

K Ebben az összefüggésben - a (2) formula után tett megjegyzésünkkel összhangban - a töbör térfogatát m

3ben nyerjük. Ezután a célszerűen kiválasztott, szándékunk szerint genetikai egységet alkotó karsztos terület valamennyi töbrét a fentiek szerint megvizsgálva láthatjuk, hogy mindegyikhez hozzárendelhető t(x) területfüggvénye alapján az L, M és K paraméterek egy-egy értékhármasa. •In-*-1 V Mj Li. terület-függvényéhez rendeljük hozzá az Ä

3 tér {(Z.

1

; M

u K

x), (L

2, M

2, K

2), ..., (L

m, M

m, K

m)} koordináta hármasaival jellemzett m számú pontját. Az így nyert koordinátateret {/..MATJ-paramétertémek nevezzük (Veress, M Péntek, K. 1987). Ha feltételezzük, hogy a genetikai szempontból egységet alkotó karsztos területen fejlődő, s jelenleg egészen különböző méretű töbrök lényegében ugyanazon karsztosodási folyamat különböző fázisai, akkor a töbröknek a paramétertérben ábrázolt ponthalmazai e fejlődési folyamat megragadására lehetnek alkalmasak. Egy töbör karsztos fejlődésének a paramétertérben e mélyedést ábrázoló pont elmozdulása felel meg. E mozgás a karsztos terület töbreit a paramétertérben ábrázoló ponthalmaz mentén következik be Ezen elv elfogadásával lehetőségünk van az L, M és K paraméterek változási tendenciáinak ismeretében e terület egy töbrénél a múltbeli és jövőbeli alak hozzávetőleges meghatározására. Az eltérő sajátosságú karsztos területek töbreihez a paramétertérben hozzárendelt ponthalmazok valószínűleg különbözni fognak egymástól. A különböző karsztterületek paramétertereinek meghatározásával ezen területek töbrei növekedésének sajátosságait hasonlíthatjuk össze. A töbrök morfometriáját vizsgáló fejezetünket néhány megjegyzéssel záijuk A fentiekben bemutatott terület-, meridián- és térfogatfüggvények már alkalmasak a gyakorlati számítások elvégzésére, azonban könnyen beláthatjuk, hogy összefüggéseink, s a bennük szereplő paraméterek értékei is függenek a mértékegység megválasztásától. Levezethetünk viszont olyan formulákat is, amelyek invanánsak a mértékegység megválasztásával szemben. A részletes számításokat mellőzve a fentiekhez hasonló okoskodással igazolhatjuk, hogy a mértékegység megválasztására nézve invariáns alakú t*(x) területfüggvény, a Id*(x) mendiánfüggvény, és a V* térfogatfüggvény alakja: (21) t (0 < x< L), ahol t

0 a töbör x

ü inflexiós helyének mélységében az alakzat vízszintes metszetének területe, (22) m 'M-^ilct, ~ln(0 < x < L), ahol Ho a töbörhöz hozzárendelt ideális töbör x

0 mélységében a /

0 területű körlemez sugara, végül (B) V^-j^f {-$! ,