Hidrológiai Közlöny 2000 (80. évfolyam)
4. szám - Péntek Kálmán–Veress Márton–Szunyogh Gábor: Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel
197 Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel Péntek Kálmán - Veress Márton - Szunyogh Gábor Berzsenyi Dániel Főiskola, 9700. Szombathely, Károlyi Gáspár tér 4. Kivonat: Kulcsszavak: Egy karsztos térszínről nagy méretarányú színtvonalas térképet készítünk. Ha meghatározzuk a mélyedések szintvonalai által körülhatárolt területeket a mélység függvényében, akkor a töbör területfilggvényéhez jutunk. Ennek felhasználásával megadhatjuk a terület töbreinek metrikus jellemzését, s az egyes mélyedésekhez hozzárendelt függvényekkel azok összehasonlíthatókká válnak. A terület szintvonalas térképéből kiindulva jellemezhető az egyes töbrök forgási szimmetriától való eltérése is, ez a töbör megnyúltsága és irányultsága.. iránygyakoriság, karsztos forma, meridián bőrbe, szintvonal, területfuggvény, töbör 1. Bevezetés A karsztok felszínének leggyakoribb formái a töbrök. A töbrök morfogenetikai vizsgálata viszonylag könnyen elvégezhető, mivel alakjuk egyszerű Az egyes töbrök morfogenetikai elemzése nem csak adott töbör genetikájához, hanem a töbrös formakincsű karszt karsztosodásához is fontos információkat szolgáltathat. A töbrök alakjának összehasonlítására William, B. W. (1988) ajánlott módszert. Fenti szerző a töbör szélességének és mélységének a hányadosát képezte. Farsang, A.M Tóth, T. (1992) a töbrök megnyúltságának irányultságára dolgozott ki módszert. A töbrök szintvonalaik segítségével jól elkülönülnek környezetüktől Ezért a töbröket leíró szintvonalak felhasználásával olyan függvényt adunk meg, amellyel a különböző töbrök alakja és mérete számszerűen jellemezhető és más töbrökkel összevethető. Ugyancsak vizsgáljuk a töbröket leíró szintvonalaik segítségével megnyúltságuk mértékét és e megnyúltság irányát. 2. A töbrök morfometríája Tekintsünk egy karsztos térszínt, amelyen számos töbör található, s készítsünk e területről nagy részletességű szintvonalas térképet Az eddig feldolgozott karsztos területekről készített szintvonalas térképek tapasztalataink szerint akkor hordoznak a későbbiekben kidolgozandó matematikai módszerekhez elegendő információt, ha a vizsgált térszín valamennyi töbrének ábrázolása során legalább tíz szintvonal lokálisan záródik az alakzat körül. A térképen egy szintvonal lokális záródása azt jelenti, hogy e szintvonal csupán a szóbanforgó töbör legmélyebb helyét ábrázoló pontot fogja közre szemléletesen, más töbör ilyen pontját viszont nem. Egy olyan karsztos területen tehát, ahol a töbrök mindegyike eléri legalább a h = 5 m mélységet, a szomszédos szintvonalak magasságainak különbsége legfeljebb A/i = 0,5 m lehet. Egy kiszemelt töbör matematikai leírásához rendeljünk hozzá egy jobb-sodrású Descartes-féle koordinátarendszert a következő módon. A koordináta-rendszer O origója legyen a töbör legmélyebb pontja felett abban a szintvonal-síkban, amelyik az első olyan szintvonal lentről felfelé haladva, amelyik már nem záródik lokálisan a töbör körül. A koordináta-rendszer x-tengelye mutasson lefelé, döfve a töbör legmélyebb pontját, _y-tengelye északra, végül z-tengelye keletre. E koordináta-rendszerben a töbör alakját meghatározó szintvonal-síkok egyenlete ahol !sh a szomszédos szintvonalsíkok magasságainak különbsége, s feltesszük, hogy ra-1 számú szintvonal záródik lokálisan a töbör körül. Jelölje ezutány k( 1 < k < n-1) az x = x k síkokban a töbröt leíró szintvonalak által körülhatárolt területeket. Ha L jelenti a töbör legmélyebb pontjának az O origótól való távolságát, tehát ha e legmélyebb pont koordinátái (/,, 0, 0), akkor a fenti n-1 számú (x k,y k) értékpárt egészítsük ki az x„ = L és_y„ = 0 értékpárral. Keressünk ezután kapcsolatot az {x\,x 2,...,x n} és az {y\. •••, y„) halmazok között, itt y k értékét az x k függvényének tekintjük (1 < k < ti). Célunk az, hogy olyan analítikusan könnyen kezelhető függvényt találjunk, amelynek görbéje minél pontosabban illeszkedik az {(*ixVi)> ( xzyi) ••• Á xn,yn)} pontokhoz. Mivel a töbrök lefelé haladva egyre kisebb kiteijedésűek, így olyan a ]0,Z,] intervallumon értelmezett szigorúan monoton csökkenő folytonos függvényt keresünk, amelyik az x k helyen jó közelítéssel az^. értéket veszi fel (1 <k< rí) Ezen t:]0,/.] -» R függvény explicit alakját számos lehetséges típus regresszió-analízissel történő elemzése után célszerűnek látszott a (2) t(x) := p(jL.i nx) F \M L) (0 < x < L) (1) x = x k=k- A/j = (1 <Jt<«-l) alakban keresni, ahol L > 0, M < 0 és K > 1 alkalmasan rögzített paraméterek. E paraméterek értékét az {(X) j^), (X2V2) • (x n iy„} értékpárokhoz úgy határozzuk meg, hogy ha x értékét m-ben méijük, akkor a /(x) terület értéke m 2-ben adódjék. A /(x) függvényt a vizsgált töbör területfuggvényének nevezzük. E függvény konkrét alakját az {(xij'i), (x^) ..., (x n xy„} mérési, illetve térképezéssel nyert értékpárokból kiindulva regresszió-analízis alkalmazásával határozzuk meg, amint azt már a fentiekben is említettük. A í(x) függvényt jellemző L, M és K paraméterek szemléletes jelentése a későbbiek révén válik világossá. Egy töbörhöz a fenti konstrukcióval hozzárendelt koordináta-rendszert, valamint az {(x^j), (x^) •-•, (x nj/ n} értékpárok meghatározását szemléieteti az 1. ábra (Veress. M.-Péntek, K. 1987, 1988, 1989). Hajtsunk végre ezután az előző részben vizsgált töbrön a térgeometriából ismert Cavalieri-elvet felhasználva olyan térfogattartó topológikus transzformációt, hogy a kapott alakzat forgásszimmetrikus legyen, és bármely xe]0,L] mélységben az eredeti és a transzformált mélyedésnél t{x) értéke azonos legyen. Ezen eljárásunkkal nyert alakzatot a kiindulási valóságos töbörhöz tartozó ideális
