Hidrológiai Közlöny 1998 (78. évfolyam)
4. szám - Péntek Kálmán–Szunyogh Gábor–Veress Márton: A keveredési korrózió egyenleteinek algebrai megoldása
234 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1998. 78. ÉVF. 4. SZ. Jelölje v az oldat teljes széndioxid tartalmát, amely a kötött és a tartozékos széndioxid összege, mely a (6) és (7) összegzése eredményeként az „3 y = ax + K t (9) alakot ölti. A (9) által megadott függvénykapcsolatot az La. ábra szemlélteti. Megjegyezzük, hogy a (9) csak arra az esetre érvényes, amikor az oldat a Ca^-on kívül más fém-ionokat nem tartalmaz, azaz egyenleteink a vegytiszta mészkő hidrokarbonátos oldódására vonatkoznak. 1. ábra a.) Kapcsolat a feloldott kalcium-karbonát és a karsztvízben található széndioxid koncentrációi között. b.) Két, azonos hőmérsékletű kalcium-karbonátban telített oldat keverésének ábrázolása grafikus úton 3. A keveredési korrózió általános egyenletei Keveredjen két oldat. Az egyik kalciumkarbonát tartalma és hőmérséklete legyen x\ és íi, a másiké x 2 és t 2. Egyensúlyi széndioxid-tartalmuk y\ és y 2, melyekre a (9) szerint fennáll, hogy y { = ax l + Li Kh y 2 = ax 2 + K t (10) (ii) ahol K„ és K t 2 a tartozékos széndioxid egyensúlyi állandóiból alkotott együtthatók a (8) szerint, t\ és t 2 hőmérsékletekre vonatkozólag. A keverés történjen olyan arányban, hogy az egyik oldat a keveréknek n^-ed, a másik oldat n 2-ed részét tegye ki. (nyilván n\+n 2 = 1). Ezek szerint az oldat eredő széndioxid koncentrációja az eredeti koncentrációk keverési aránnyal súlyozott átlagából adódik: y = + w = = ax, + K + H t, y ax 2 + K (12) A kalciumkarbonát koncenrációja részben az eredeti kalciumkarbonát-tartalom súlyozott átlaga, részben a keveredési korrózió révén felvett többlet-kalciumkarbonát Ax koncentrációjából áll össze (l.b. ábra). x = n xx j + n 2x 2 + Ax (13) Mivel a Ax mészkőtöbblet feloldása után is fennáll a kémiai egyensúly, így a keveredés utáni koncentrációkra is érvényes a (9) összefüggés. Az x és>> helyébe a (12) és (13) kifejezéseket írva / tl ax, + K í + tL Í, / fll, + V K h J = o(«, ,x, + n 2x 2 + Ax) + (»,x, + n 2x 2 + Ax) 3 (14) adódik. A fenti kifejezésben csak Ax ismeretlen mennyiség, amelyre nézve a (14) harmadfokú egyenletet képez: (Ax) 3 + 3(«!JCJ + H 2X 2)(AX)~ + x\ + n2 xi) +aK t Ax + (n lx i + n 2x 2 YK, 3 i n, — 1-x, + n 2 ——x j K •i K. j = 0 (15) Vezessük be a z - Ax + (n,x, + n 2x 2} (16) új változót. Ezáltal a (15) egyenletből kiiktathatjuk a Axben négyzetes tagokat. Rendezés után z-re a z 3 + aK,z -K. H ÜX | + K ax, + x, K = 0 (17) egyenletet nyerjük. Vegyük észre, hogy a szögletes zárójelben álló menynyiség éppen a (12) által megadott y (a keverék teljes széndioxid-tartalma). A (17) ezért az alábbi, tömörebb formába írható: z 3 + aK tz - K ty = 0 (18) amelynek megoldása a Cardano-Fontana képlettel történik. Ennek érdekében a (18)-ban szereplő együtthatókból az
